Segno di una successione

Nello studio dell'Analisi Matematica, può essere utile comprendere quale sia il segno di una successione

 

Una successione a:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R} si dice 

 

  • non negativa se a_n\ge 0 per ogni n appartenente ad N.
  • positiva se a_n>0 per ogni n appartenente ad N.
  • non positiva se a_n\le 0per ogni n appartenente ad N.
  • negativa se a_n<0 per ogni n appartenente ad N

 

E' necessario mettere in chiaro che esistono successioni che non rispettano nessuna delle quattro definizioni precedenti, esse sono dette successioni a segno variabile. Tra queste ultime ricoprono un ruolo di rilievo: le successioni a segni alterni.

 

Una successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è a segni alterni se e solo se per definizione

 

a_n\cdot a_{n+1}<0

 

In altre parole, ogni suo termine è discorde con il suo successivo.

 

Tecniche per lo studio del segno delle successioni

 

Esistono svariate tecniche per determinare il segno di una successione. 


Studio del segno tramite le disequazioni

 

Uno dei metodi più elementari consiste nella risoluzione della disequazione:

 

a_n>0

 

Abbiamo tre possibili casi

 

1. è soddisfatta per ogni numero naturale n allora la successione è positiva.

2. non è soddisfatta per alcun valore: la successione è non positiva (negativa o nulla).

3. è soddisfatta per alcuni valori allora la successione è a segno variabile.

 

Nel caso in cui rientrassimo nell'ultima eventualità, è necessario verificare se

 

a_n\cdot a_{n-1}<0

 

se la successione rispetta tale condizione, ci troviamo di fronte ad una successione a segni alterni.

 

Tutti gli altri casi si ottengono sostituendo opportunamente i simboli <>, ≤.

 

 

Studio del segno tramite principio di induzione

 

Di seguito riporteremo il passi da seguire per dimostrare che la successione è positiva, ma il ragionamento funziona anche per gli altri casi.

 

Il nostro intento è mostrare che a_n>0 \quad \forall n\in\mathbb{N} e per farlo è necessario:

 

1. verificare il passo base:

 

a_0>0

 

2. Supporre che a_k>0 ( ipotesi induttiva)

 

3. Dimostrare, utilizzando l'ipotesi induttiva,  che a_{k+1}>0 (passo conclusivo)

 

Ad ogni modo per approfondire l'argomento in generale vi rimandiamo alla lettura del precedente link. 

 

Studio del segno tramite la proprietà delle funzioni

 

Questa è una tecnica può essere applicata solo in alcune occasioni. Consideriamo una funzione reale a valori reali

 

f:I\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}

 

tale che f(x)>0\quad \forall x\in I.

 

Sia inoltre (a_n)_{n\in\mathbb{N}} una successione reale per la quale si ha che a_n\in I \quad \forall n\in \mathbb{N}

 

Allora la successione b_n= f(a_n) è a termini positivi. 

 

 


 

Tutto qui :) continua a leggere le nostre lezioni, e nel frattempo in caso di difficoltà cerca le risposte ai tuoi dubbi ed eventualmente chiedi una mano nel Forum.

 

Ifrit

 

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