Successioni numeriche

Una successione numerica a:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{R} è una legge che associa ad ogni numero naturale n un numero reale indicato con an

 

Una successione può essere vista come una funzione che ha per dominio l'insieme dei numeri naturali e per codominio l'insieme dei numeri reali. Per indicare una successione, solitamente vengono utilizzati le seguenti notazioni:

 

\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}  o la più comoda \left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

In modo meno formale possiamo definire una successione numerica reale come una lista  ordinata e infinita di numeri reali.  L'aggettivo ordinata non è casuale ed è dovuto al fatto che l'ordine in cui vengono elencati gli elementi di una successione è importante.

 

 

Ad esempio le successioni:

 

a=\{1,2,1,1,...,1,...\}

 

e

 

b=\{2,1,1,1,....,1,...\}

 

sono due successioni distinte. Nella prima successione, il 2 appare al secondo posto, mentre nella seconda successione esso è al primo.

 

Esempi di successioni numeriche

 

Cominciamo a dare i primi esempi di successioni. Consideriamo

 

1.\,\,\,(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

I primi tre termini della successione sono:

 

a_1= \frac{1}{1}=1,\,\,a_2= \frac{1}{2},\,\, a_3 = \frac{1}{3}

 

che si ottengono sostituendo ad ogni occorrenza di n i numeri 1, 2, 3.

 

2.\,\,\,(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

I primi tre termini della successione sono:

 

a_1= \frac{1}{1^2}=1,\,\,a_2= \frac{1}{2^2}=\frac{1}{4},\,\, a_3 = \frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}

 

3.\,\,\,(a_n)_{n\in\mathbb{N}} dove 

 

a_n=\begin{cases}0&\mbox{ se }1\le n\textless 4\\1&\mbox{ se }5\le n\textless 7\\2&\mbox{ se }n\ge 7\end{cases}

 

Valutiamo i termini a1, a6, a12.

 

a_1= 0 perché il pedice n=1 rispetta la condizione del primo caso nella definizione della successione.

 

a_6=1 perché il pedice n=6 rispetta la condizione dettata dal secondo caso.

 

infine a_{12}=2 perché 12 rispetta la terza condizione nella definizione della successione.

 

Sostegno di una successione

 

Data una successione a:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R} si definisce sostegno della successione l'insieme dei valori reali che essa assume.

 

\mbox{Im}(a)=\{a_1, a_2, a_3,..., a_n, ...\}= \{a_n: n\in\mathbb{N}\}

 

Un numero reale \alpha\in\mathbb{R} appartiene al sostegno di a se e solo se esiste (almeno) un numero naturale n\in\mathbb{N} tale che a_n=\alpha

 

Come avrai notato non v'è alcuna differenza tra la definizione di immagine di una funzione con quella di sostegno di una successione. Per verificare che un numero reale appartenga o meno al sostegno della successione dobbiamo risolvere una semplice equazione in N.

 

Esempi

 

1) Verifichiamo che \alpha=e^2 appartiene al sostengno della successione 

 

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(e^{-n+n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

In sostanza dobbiamo risolvere l'equazione:

 

a_n= \alpha \iff e^{-n+n^2}= e^{2}

 

Uguagliando gli esponenti:

 

-n+n^2=2\iff n^2-n-2=0

 

E' una equazione di secondo grado in n e grazie al metodo risolutivo troviamo due soluzioni: 

 

n_1=-1 che non è accettabile perché richiediamo che le soluzioni siano numeri naturali

 

n_2= 2 che è una soluzione accettabile. Effettuiamo la verifica:

 

a_2= e^{-2+2^2}= e^{2}\qquad ok!

 

e2 appartiene al sostegno della successione.


2) Verifichiamo che \alpha=1 appartiene al sostegno della successione 

 

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\log_3(n^2+n+1)\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

L'equazione da impostare è:

 

a_n= \alpha \iff \log_3(n^2+n+1)= 1

 

Grazie al metodo di risoluzione delle equazioni logartimiche avremo le soluzioni:

 

n_1=-2 non accettabile perché non è un numero naturale

 

n_2=1 accettabile.

 

Possiamo concludere che 1 appartiene al sostegno della successione.

 

 


 

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Ifrit

 

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