Come disegnare il grafico nello studio di funzione

State leggendo l'ottava e ultima lezione della guida sullo studio di funzione, in cui mostriamo come disegnare il grafico qualitativo della funzione a partire dalle informazioni ricavate nell'intero procedimento.

 

Se volete leggere il riepilogo del procedimento dello studio di funzione, vi basta un click. Questa è una guida rapida: nella sezione di Analisi 1 trovate le lezioni standard su tutto ciò che riguarda le funzioni.

 

Step finale: disegniamo il grafico della funzione


Riprendiamo, passo passo, tutte le informazioni che abbiamo dedotto nei vari passaggi e usiamole per tracciare il grafico della funzione. Sappiate inoltre che, dopo averlo disegnato qui e in tutti i vostri esercizi, potrete verificarne la correttezza con il nostro tool per il disegnare il grafico di funzioni.

 

Un buon metodo per la rappresentazione del grafico qualitativo consiste dei seguenti passaggi:

 

Preparazione di una bozza del grafico qualitativo

 

1) disegnare gli assi del piano cartesiano e tenere presente che il grafico si riferirà solamente all'insieme di definizione, che sarà costituito da un'unione di intervalli sull'asse x.

 

2) Segnare le eventuali intersezioni con gli assi sugli assi cartesiani.

 

3) Facendo riferimento alle informazione desunte sul segno della funzione, cancellare le zone sotto gli intervalli dell'asse delle ascisse in cui la funzione deve essere positiva. Analogamente, cancellare le zone al di sopra degli intervalli dell'asse delle ascisse in cui la funzione deve essere negativa.

 

4) Tracciare gli eventuali asintoti orizzontali, gli eventuali asintoti verticali e gli eventuali asintoti obliqui e segnare, anche in maniera approssimativa, il comportamento della funzione in corrispondenza di essi.

 

5) Individuare i punti di massimo e minimo sull'asse delle ascisse e segnare i relativi punti del tipo

 

(punto estremante, valore estremante)

 

nel piano cartesiano.

 

In modo analogo segnare gli eventuali punti di non derivabilità: cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale che avete determinato.

 

6) Individuare i punti di flesso dedotti con lo studio della derivata seconda, e segnare i relativi punti del tipo

 

(punto di flesso, valore nel punto di flesso)

 

7) Tenendo a mente gli intervalli in cui la funzione deve crescere o decrescere e gli intervalli in cui la funzione è concava o convessa, disegnare una bozza del grafico.

 

Dalla bozza al grafico qualitativo

 

8) Non fatevi venire paranoie o blocchi psicologici: nello studio di funzione i valori e i dati che avete trovato devono essere corretti e il grafico deve rispecchiarli. Il grafico che dovete disegnare però deve essere un grafico qualitativo: deve essere abbastanza preciso e non necessariamente un lavoro da robot!

 

Il grafico qualitativo è la prova del nove

 

Vi ricordate la cara, vecchia prova del nove con cui controllavamo i risultati alla scuola primaria? Ecco: tracciare il grafico di una funzione è un tipo di esercizio che ha un pregio molto poco apprezzato. Infatti, a meno di errori clamorosi, se avessimo sbagliato qualcosa troveremmo sicuramente due o più informazioni in contraddizione tra loro.



Un esempio? Se risulta che per x>\mbox{paperino} la funzione deve essere positiva, e se al contempo risulta che \lim_{x\to+\infty}{f(x)}=-5, è il segnale che c'è qualquadra che non cosa.

 

Se invece tutto fila e le informazioni che abbiamo dedotto concordano, allora lo studio è stato svolto correttamente. Un po' come avere la soluzione a portata di mano... ;)

 

Grafico qualitativo nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln(x+1)}{-2-\ln(x+1)}

 

Impostando il grafico qualitativo passo dopo passo, ricaviamo

 

Grafico con il calcolatore

 

Ehi, avete ragione: questo grafico è precisissimo perchè fatto a computer. Anche grafici ben più grezzi vanno bene: tranquille/i, se può andare bene il mio grafico... Andranno bene anche i vostri :)

 

 

Grafico qualitativo a mano

 

 


 

Come promesso nella lezione successiva tratteremo un esempio un po' più ostico sullo studio di funzione, in modo da avere una panoramica su una funzione impegnativa e con un po' di patologie. Nulla vi vieta di passare direttamente alla sezione di esercizi sullo studio di funzione, in cui avete a disposizione sia esercizi svolti che proposti.

 

Non dimenticate che qui su YM ci sono tantissimi risorse e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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