Derivata seconda, convessità e punti di flesso

[Sei finito qui per caso? Stai leggendo le lezioni rapide sui vari passaggi richiesti nello studio di una funzione reale di variabile reale. Qui trovi il riepilogo dei passaggi sullo studio di funzione.

 

Questa è una guida rapida: se ti interessa la lezione con tutta la teoria necessaria, leggi teoremi su derivata seconda, convessità e concavità]

 

Step 7: convessità  e punti di flesso con la derivata seconda


Siamo giunti all'ultimo passaggio dello studio di funzione, dopodichè dovremo solamente disegnare il grafico. La prima cosa da fare è calcolare la derivata seconda della funzione y=f(x), ossia calcoliamo la derivata prima della derivata prima:

 

y=f''(x).

 

Dopo averla calcolata, diamo un rapido sguardo al suo dominio Dom(f''), e controlliamo quali sono i punti o gli intervalli di Dom(f'') che non appartengono all'intersezione tra il dominio della funzione y=f(x) e al dominio della derivata prima y=f'(x). All'atto pratico infatti ciò che ci interessa è l'intersezione

 

Dom(f)\cap Dom(f')\cap Dom(f'').

 

Ora calcoliamo gli zeri della derivata seconda, quindi risolviamo l'equazione

 

f''(x)=0.

 

Le soluzioni x di tale equazione saranno i candidati punti di flesso della funzione y=f(x), ossia i punti in cui si ha una variazione della convessità della funzione che stiamo studiando. Per capire quali tra questi valori sono effettivamente punti di flesso e quali no, e soprattutto come varia la convessità, dobbiamo risolvere la disequazione

 

f''(x)\geq 0

 

e, giusto per fissare le idee, supponiamo di trovarci di fronte ad una situazione del seguente tipo

 

Tabella del segno della derivata seconda

 

e quindi f''(x)>0 per x0 per bc. Dove la derivata seconda è positiva, la funzione y=f(x) è convessa, mentre dove la derivata seconda è negativa la funzione y=f(x) è concava. Per non confonderti, nel disegnare le soluzioni della disequazione disegna un sorriso sotto agli intervalli in cui la derivata y=f''(x) è positiva e una smorfia sotto agli intervalli in cui la derivata seconda è negativa. Questa simbologia richiama infatti quella che sarà la configurazione del grafico della funzione.

 

Tabella del segno della derivata seconda per la convessità

 

Tutti i punti x che risolvono l'equazione f''(x)=0 ma che non stanno nell'intersezione dei tre domini Dom(f)∩Dom(f')∩Dom(f'') non sono punti di flesso: è fondamentale capire che, anche se in certi punti si ha una variazione di convessità, ma in tali punti la funzione y=f(x) non è definita, essi non sono punti di flesso. Ad esempio:

 

Esempi sui punti di flesso con la derivata seconda

 

Le lezioni in cui si parla in dettaglio dei precedenti argomenti le trovi nella categoria di lezioni sulle derivate.

 

 

Nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Abbiamo capito come funziona la faccenda: calcoliamo la derivata seconda come derivata della derivata prima

 

f''(x)=\frac{-(-2)\frac{d}{dx}[(x+1)(-2-\ln{(x+1)})^2]}{(x+1)^2[-2-\ln{(x+1)}]^4}

 

f''(x)=\frac{-(-2)[1\cdot (-2-\ln{(x+1)})^2+(x+1)\cdot 2(-2-\ln{(x+1)}\left(-\frac{1}{x+1}\right))]}{(x+1)^2[-2-\ln{(x+1)}]^4}

 

con qualche calcolo arriviamo a

 

f''(x)=\frac{2(\ln{(x+1)+4)}}{(x+1)^2(2+\ln{(x+1)})^3}

 

Dato che il denominatore è complicato e noioso, osserviamo che il primo fattore è ovunque positivo in Dom(f), e lo stesso dicasi per parte del secondo fattore, che consideriamo come

 

(2+\ln{(x+1)})^3=(2+\ln{(x+1)})^2(2+\ln{(x+1)})

 

al posto dei due quadrati, ovunque positivi sull'insieme di definizione di f, scriveremo Den.

 

f''(x)=\frac{2(\ln{(x+1)}+4)}{Den\cdot (2+\ln{(x+1)})}.

 

Il dominio della derivata seconda coincide con il dominio della funzione y=f(x), quindi siamo tranquilli, non accadrà nulla di strano. Cerchiamo i candidati punti di flesso risolvendo l'equazione

 

f''(x)=0

 

ossia, eliminando direttamente il denominatore

 

2(\ln{(x+1)}+4)=0

 

\ln{(x+1)}=-4

 

da cui ricaviamo come unica soluzione

 

x=e^{-4}-1

 

Per conoscere come cambia la convessità della funzione, risolviamo la disequazione

 

f''(x)\geq 0

 

\frac{2(\ln{(x+1)}+4)}{Den\cdot (2+\ln{(x+1)})}\geq 0.

 

Il termine Den del denominatore possiamo trascurarlo perchè è sempre positivo su Dom(f), gli unici punti in cui si annulla infatti non appartengono al dominio della funzione. Ci basta risolvere

 

\frac{2(\ln{(x+1)}+4)}{Den\cdot (2+\ln{(x+1)})}\geq 0

 

separatamente

 

2(\ln{\left(x+1\right)}+4)\geq 0   se e solo se  x\geq e^{-4}-1

 

2+\ln{\left(x+1\right)}> 0   se e solo se  x> e^{-2}-1

 

Su \{e^{-4}-1< x< e^{-2}-1\}\cap Dom(f) f'' è negativa e dunque f è concava, sulla restante parte del dominio è invece convessa.

 

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