Derivata seconda, convessità e punti di flesso

State leggendo la settima lezione della guida sullo studio di funzione. Qui di seguito trattiamo lo studio della derivata seconda e riproponiamo il metodo che permette di studiare la convessità e i punti di flesso di una funzione assegnata.

 

È superfluo ricordare che per procedere è necessaria una buona conoscenza della teoria delle derivate, ma per sicurezza lo ribadiamo. ;)

 

Se volete consultare il riepilogo dei passaggi sullo studio di funzione - click! Questa è una guida rapida: se vi interessa la lezione con tutta la teoria necessaria, vi rimandiamo ai teoremi su derivata seconda, convessità e concavità.

 

Step 7: convessità e punti di flesso con la derivata seconda


Siamo giunti all'ultimo passaggio dello studio di funzione, dopodichè dovremo solamente disegnare il grafico. In questo passaggio dobbiamo effettuare lo studio della derivata seconda, seguendo un procedimento del tutto analogo rispetto allo studio della derivata prima.

 

Il punto di partenza è il calcolo del dominio della derivata seconda, inteso come insieme dei punti in cui la derivata prima è derivabile

 

\mathit{Dom}(f''):=\{x\in Dom(f)\ :\ f'\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ derivabile}\}

 

Vi anticipiamo sin da subito che nella pratica e nel 99,\overline{9}\% degli studi di funzione non sarà necessario rompersi la testa con i punti di non derivabilità del secondo ordine (ossia i punti di non derivabilità della derivata prima). Limitatevi a considerare la funzione derivata prima sul dominio \mathit{Dom}(f') e a individuarne l'insieme dei punti di derivabilità con i soliti teoremi sulle classi di funzioni derivabili, e sappiate sin da subito che i punti di non derivabilità del secondo ordine non richiedono una classificazione specifica.

 

Con queste premesse possiamo calcolare la derivata seconda della funzione y=f(x), ossia calcoliamo la derivata prima della derivata prima:

 

y=f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]

 

Ora possiamo appoggiarci ai teoremi sulla derivata seconda. Ricordando che dobbiamo lavorare nel dominio della derivata seconda, calcoliamone gli zeri risolvendo l'equazione

 

f''(x)=0

 

Le soluzioni x di tale equazione saranno i candidati punti di flesso della funzione y=f(x), ossia i punti in cui si ha una variazione della convessità della funzione che stiamo studiando. Per capire quali tra questi valori sono effettivamente punti di flesso e quali no, e soprattutto come varia la convessità, dobbiamo risolvere la disequazione

 

f''(x)\geq 0

 

Per fissare le idee supponiamo di trovarci di fronte ad una situazione del seguente tipo

 

 

Esempio sul segno della derivata seconda

 

 

\\ f''(x)>0\mbox{ per }x<a\ \vee\ b<x<c\\ \\ f''(x)<0\mbox{ per }a<x<b\ \vee\ x>c

 

- sugli intervalli su cui la derivata seconda è positiva risulta che f(x) è convessa;

 

- sugli intervalli su cui la derivata seconda è negativa risulta che la funzione f(x) è concava.

 

Per evitare qualsiasi tipo di confusione vi suggeriamo di disegnare un sorriso sotto agli intervalli in cui f''(x) è positiva, e una smorfia sotto agli intervalli in cui f''(x) è negativa. Questa simbologia richiama infatti quella che sarà la configurazione del grafico della funzione.

 

 

Convessità e segno della derivata seconda

 

 

Consideriamo un punto x=x_i in cui la derivata seconda si annulla: f''(x_i)=0. Per individuare i punti di flesso dobbiamo fare riferimento alle variazioni di convessità della funzione:

 

- se la derivata seconda in x=x_i passa da negativa a positiva, ne consegue che la funzione è concava a sinistra e convessa a destra. In tal caso x=x_i è un punto di flesso discendente;

 

- se la derivata seconda in x=x_i passa da positiva a negativa, ne consegue che la funzione è convessa a sinistra e concava a destra. In tal caso x=x_i a che fare con un punto di flesso ascendente;

 

- se la derivata seconda preserva il medesimo segno prima e oltre x=x_i, ne consegue che la funzione preserva il medesimo comportamento. In tal caso non possiamo dire nulla in generale sulla natura del punto x=x_i.

 

Classificazione dei punti di flesso

 

Sfortunatamente lo studio della derivata seconda non esaurisce tutti i possibili punti di flesso che possono manifestarsi nel grafico di una funzione, ma la buona notizia è a questo punto dello studio li avremo già determinati tutti:

 

- punto di flesso a tangente orizzontale: è un punto in cui si annulla la derivata prima e non si manifestano variazioni di monotonia. Ricade nello studio della derivata prima.

 

- punto di flesso a tangente verticale: è un particolare punto di non derivabilità. Ricade indirettamente nello studio della derivata prima.

 

- punto di flesso a tangente obliqua: viene individuato con lo studio della derivata seconda.

 

 

Nota bene: nell'intorno dei punti in cui non è definita f(x) potrebbero manifestarsi delle variazioni di convessità, come ad esempio può succedere in presenza di un asintoto verticale. Ad ogni modo tali punti non potranno considerarsi come punti di flesso.

 

 

Esempi sui punti di flesso con la derivata seconda

Lo studio della derivata seconda è obbligatorio?

 

Nei primi esercizi sullo studio di funzione si considerano funzioni dalle espressioni analitiche semplici e tutto fila liscio. Aumentando il livello di difficoltà gli esercizi richiedono calcoli e osservazioni più impegnative, ma i passaggi di norma continuano ad essere fattibili fino alla derivata prima; di contro, lo studio della derivata seconda può diventare una vera e propria missione impossibile, perché può dare luogo a espressioni analitiche e a disequazioni trascendenti veramente ingestibili.

 

D'altra parte, uno studio di funzione condotto fino alla derivata prima può fornirci in molti casi informazioni sufficienti per disegnare il grafico qualitativo, che poi è il nostro obiettivo. Morale della favola: fintanto che la derivata seconda è facilmente studiabile, studiatela senza esitazioni; se invece l'espressione della derivata seconda risultasse eccessivamente complicata, vi è consentito tralasciarla. In quest'ultimo caso dovete fare del vostro meglio con le informazioni dedotte fino alla derivata prima.

 

Questo modus operandi è un classico ad ogni livello di studio. Come avrete modo di constatare voi stessi a scuola e all'università, non appena il livello degli esercizi salirà, vi verrà talvolta detto esplicitamente di omettere lo studio della derivata seconda. Il passo successivo prevede di sviluppare una propria sensibilità matematica e di decidere autonomamente se il gioco vale la candela. ;)

 

Per ulteriori informazioni potete leggere qui: quando si può evitare lo studio della derivata seconda?

 

Derivata seconda nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Ripartiamo come al solito dall'insieme di definizione della funzione

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

e riscriviamo l'espressione della derivata, per cui risultava \mathit{Dom}(f')=Dom(f)

 

f'(x)=\frac{-2}{(x+1)\left[-2-\ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}

 

Niente da segnalare sul dominio della derivata seconda, dal momento che la derivata prima è composizione e rapporto di funzioni derivabili in ogni punto del proprio dominio

 

\mathit{Dom}(f'')=\mathit{Dom}(f')=Dom(f)

 

Calcoliamo la derivata seconda come derivata della derivata prima, usando la regola di derivazione del rapporto

 

\\ f''(x)=\frac{-(-2)\frac{d}{dx}[(x+1)(-2-\ln{(x+1)})^2]}{(x+1)^2[-2-\ln{(x+1)}]^4}\\ \\ \\ f''(x)=\frac{-(-2)[1\cdot (-2-\ln{(x+1)})^2+(x+1)\cdot 2(-2-\ln{(x+1)}\left(-\frac{1}{x+1}\right))]}{(x+1)^2[-2-\ln{(x+1)}]^4}

 

con qualche calcolo arriviamo a

 

f''(x)=\frac{2(\ln{(x+1)+4)}}{(x+1)^2(2+\ln{(x+1)})^3}

 

Osserviamo che il primo fattore del denominatore è ovunque positivo in \mathit{Dom}(f''), e lo stesso dicasi per parte del secondo fattore, che consideriamo come

 

(2+\ln{(x+1)})^3=(2+\ln{(x+1)})^2(2+\ln{(x+1)})

 

al posto dei due quadrati, ovunque positivi sull'insieme di definizione di f'', scriveremo per brevità \mbox{Den}

 

f''(x)=\frac{2(\ln{(x+1)}+4)}{\mbox{Den}\cdot (2+\ln{(x+1)})}

 

Il dominio della derivata seconda coincide con il dominio della funzione y=f(x), quindi siamo tranquilli, non accadrà nulla di strano. Cerchiamo i candidati punti di flesso risolvendo l'equazione

 

f''(x)=0

 

ossia, eliminando direttamente il denominatore

 

\\ 2(\ln{(x+1)}+4)=0\\ \\ \ln{(x+1)}=-4

 

da cui ricaviamo come unica soluzione

 

x=e^{-4}-1

 

Per sapere come cambia la convessità della funzione, risolviamo la disequazione

 

\\ f''(x)\geq 0\\ \\ \\ \frac{2(\ln{(x+1)}+4)}{\mbox{Den}\cdot (2+\ln{(x+1)})}\geq 0

 

Possiamo semplificare il termine \mbox{Den} del denominatore perchè è sempre positivo su \mathit{Dom}(f''), gli unici punti in cui si annulla infatti non appartengono al dominio della funzione. Ci basta risolvere

 

\frac{2(\ln{(x+1)}+4)}{2+\ln(x+1)}\geq 0

 

Siamo passati ad una disequazione fratta equivalente alla precedente, in cui possiamo studiare separatamente i segni di numeratore e denominatore

 

\\ N\geq 0)\ \ \ 2(\ln{\left(x+1\right)}+4)\geq 0\ \to\ x\geq e^{-4}-1\simeq -0,98\\ \\ D>0)\ \ \ 2+\ln{\left(x+1\right)}>\ \to\ x>e^{-2}-1\simeq -0,86

 

Le approssimazioni dei valori ci aiutano ad effettuare il confronto dei segni, ma nello scrivere i risultati dobbiamo riportare i valori esatti. Ricordiamoci inoltre che dobbiamo lavorare nel dominio della derivata seconda

 

 

Studio segno derivata seconda

 

 

\mbox{Per }e^{-4}-1<x<e^{-2}-1 risulta che f''(x) è negativa, e dunque f è concava.

 

\mbox{Per }-1<x<e^{-4}-1\ \vee\ x>e^{-2}-1 risulta che f''(x) è positiva, e dunque f è convessa.

 

Poiché x=e^{-4}-1 annulla la derivata seconda e determina una variazione di convessità, concludiamo che è un punto di flesso ascendente (a tangente obliqua). in cui la funzione assume il valore

 

f(e^{-4}-1)=\frac{\ln[(e^{-4}-1)+1]}{-2-\ln[(e^{-4}-1)+1]}=\frac{-4}{2}=-2

 

Al contrario, seppur si manifesti una variazione di convessità in x=e^{-2}-1, tale punto non appartiene all'insieme di definizione della funzione e non può essere classificato come punto di flesso.

 

 


 

 

Nella lezione successiva trattiamo l'ultimo passaggio dello studio di funzione: quello che ci permetterà di disegnare il grafico qualitativo. In caso di dubbi sulla teoria vi suggeriamo di prendere una pausa e di ripartire dalla lezione sui teoremi per la derivata seconda; se invece state ripassando e vi sentite pronti, potete affrontare sin da subito gli esercizi sullo studio di funzione. ;)

 

 

Lezione precedente...........Lezione successiva 


Tags: derivata seconda nello studio di funzioni per valutare la convessità e concavità e determinare i punti di flesso della funzione.