Derivata prima, massimi e minimi assoluti e relativi, monotonia

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Step 6: Studio della derivata prima della funzione

 

Ora dobbiamo capire:

 

 

Per scoprirlo, in accordo con i teoremi sulle derivate, calcoliamo la derivata prima della funzione

 

y=f'(x)

 

e ne determiniamo il dominio Dom(f'). Fatto ciò, dobbiamo risolvere la disequazione

 

f'(x)\geq 0.

 

I punti in cui la derivata prima si annulla (vale a dire le soluzioni dell'equazione f'(x)=0) sono i candidati massimi o minimi della funzione y=f(x), detti altrimenti punti estremanti della funzione. Per sapere se tali punti x che annullano la derivata prima sono massimi, minimi oppure no, dobbiamo risolvere la disequazione f'(x)\geq 0 e studiare il segno della derivata prima. Per vedere come, supponiamo per fissare le idee che x1 sia tale da annullare la derivata prima: f ' (x1)=0.

 

- se la derivata y=f ' (x) è positiva prima di x1 e negativa poi, allora x1 è punto di massimo della funzione y=f(x);

 

- se la derivata y=f ' (x) è negativa prima di x1 e positiva poi, allora x1 è punto di minimo della funzione y=f(x);

 

Nota bene: dato un punto x1 per dire che è un punto di massimo o di minimo per la funzione y=f(x) le condizioni "annullare la derivata prima" e "alternanza del segno della derivata prima" devono valere contemporaneamente. Può infatti capitare, ad esempio in corrispondenza di un punto x0 in cui è presente un asintoto verticale, che la funzione cresca prima e decresca dopo di esso: per avere un'idea f(x)→+∞ per x→x0f(x)→+∞ per x→x0+. In tal caso avremo sicuramente alternanza del segno della derivata prima, ma x0 non è un punto di massimo per la funzione y=f(x). La derivata prima infatti non si può annullare in x0 perchè la funzione y=f(x) non è definita in tale punto!

 

Ora dobbiamo stabilire se i punti di massimo/minimo che abbiamo trovato sono relativi o assoluti (come distinguere i massimi e minimi assoluti da quelli relativi?).

 

Supponiamo che vi siano due punti di massimo x1, x2 e due punti di minimo x3, x4 per la funzione y=f(x) considerata. Avremo quindi

 

f'(x_{1})=0  f'(x_{2})=0   f'(x_{3})=0  e  f'(x_{4})=0.

 

A questo punto valutiamo la funzione y=f(x) in tali ascisse. Così facendo troveremo i valori di massimo/minimo corrispondenti f(x1), f(x2), f(x3) e f(x4), e conosceremo esattamente i punti del grafico in cui la funzione y=f(x) raggiunge i suoi massimi/minimi:

 

\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),   \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right),   \left(x_{3},f\left(x_{3}\right)\right),   \left(x_{4},f\left(x_{4}\right)\right).

 

Il punto di massimo assoluto è l'ascissa che determina il più grande tra i valori di massimo (ordinate) se la funzione non tende a +∞ in alcun punto del dominio.

Il punto di minimo assoluto è l'ascissa che determina il più basso tra i valori di minimo (ordinate) se la funzione non tende a -∞ in alcun punto del dominio.

 

Non sempre ci sono massimi e/o minimi assoluti: se ci sono, tutti gli altri massimi e/o minimi sono relativi. Se non ci sono massimi e/o minimi assoluti, allora tutti i punti di massimo e/o minimo sono relativi. Con "relativo" infatti si intende: "se esiste almeno un intervallo di ascisse tale per cui il valore di ordinata che si ottiene è il più grande (massimo relativo) o il più piccolo (minimo relativo) tra tutti i valori di ordinata presenti in quell'intervallo". Con "assoluto" si intende invece: "il valore di ordinata più grande (massimo assoluto) o più basso (minimo assoluto) su tutto il dominio".

 

Si conclude lo studio della derivata prima studiando gli eventuali punti di non derivabilità della derivata prima y=f ' (x). Per farlo, basta considerare i punti che sono esclusi dal dominio della derivata prima y=f ' (x), con particolare attenzione alle ascisse che stanno nel dominio di y=f(x) ma che non appartengono al dominio di y=f ' (x). Vanno cercate cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale.

 

Le lezioni che trattano in dettaglio i suddetti argomenti le trovi nella categoria delle derivate.

 

Massimi e minimi assoluti e relativi nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-ln{\left(x+1\right)}}

 

Calcoliamo la derivata prima della funzione. Per farlo, dobbiamo applicare la regola di derivazione del rapporto di funzioni:

 

f'(x)=\frac{\frac{1}{x+1}\left(-2-\ln{\left(x+1\right)}\right)-\ln{\left(x+1\right)}\left(-\frac{1}{x+1}\right)}{\left[-2-ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}=

=\frac{-2}{(x+1)\left[-2-ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}.

 

Il dominio della derivata prima si determina nel solito modo. Osserviamo che, rispetto al sistema di condizioni da imporre sulla funzione y=f(x) qui dobbiamo aggiungere la condizione x+1≠0, vale a dire x≠-1, punto che però è già escluso dal dominio della funzione che stiamo studiando. Quindi

 

Dom(f')=Dom(f).

 

Per quanto riguarda i candidati a punti di massimo o minimo, se imponiamo l'equazione f'(x)=0 abbiamo

 

\frac{-2}{(x+1)\left[-2-ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}=0

 

che però non ammette soluzioni (-2=0 impossibile). Ora il segno della derivata prima ci dirà su quali intervalli di ascissa la funzione y=f(x)  cresce e dove decresce: per scoprirlo, risolviamo la disequazione

 

f'(x)\geq 0

 

ossia

 

\frac{-2}{(x+1)\left[-2-ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}\geq 0

 

N\geq 0\mbox{ }-2\geq 0 impossibile (linea tratteggiata)

 

D> 0: il primo fattore conduce a x>-1, il secondo è invece un quadrato ed è quindi non negativo \forall x\in Dom(f) (l'unico punto in cui il denominatore si annulla è già escluso dal dominio).

 

Il grafico dei segni per la disequazione è allora

 

Tabella per lo studio del segno della derivata prima

 

Morale: la funzione decresce su tutto il proprio dominio.

 

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