Studio della derivata prima

State leggendo la sesta lezione della guida sullo studio di funzione, relativa allo studio della derivata prima. In questo passaggio vedremo come studiare la derivata prima per desumere importanti informazioni relative alla monotonia della funzione e ai suoi punti di massimo e minimo, relativi e assoluti.

 

Prima di procedere vi raccomandiamo di avere una conoscenza quantomeno discreta della teoria delle derivate.

 

Se volete dare un'occhiata agli altri passaggi dello studio di funzione vi rimandiamo al riepilogo della pagina del link. ;)

 

Step 6: studio della derivata prima della funzione

 

Il sesto passaggio nello studio di funzione è cruciale: ci permetterà di ottenere informazioni precise riguardo alla monotonia della funzione, o in parole povere su quali intervalli dell'insieme di definizione la funzione cresce o decresce.

 

Per procedere allo studio della derivata prima sono richieste due capacità preliminari:

 

1) saper individuare l'insieme dei punti in cui y=f(x) è una funzione derivabile;

 

2) saper calcolare la derivata della funzione y=f(x).

 

Partiamo da una dura verità: il punto 1) viene sottovalutato tantissimo sia alle scuole superiori che all'università, con inevitabili conseguenze disastrose. :P

 

L'insieme dei punti in cui una funzione y=f(x) è derivabile viene chiamato per definizione dominio della derivata prima:

 

\mathit{Dom}(f'):=\{x\in Dom(f)\ :\ f\ \grave{\mbox{e}}\ \mbox{derivabile}\}

 

Attenzione a non confondere il dominio della derivata prima con il dominio della derivata prima intesa come funzione a sé stante. In altri termini, l'insieme dei punti di derivabilità di f(x) non coincide in generale con l'insieme dei punti su cui è definita la funzione y=g(x) la cui espressione analitica coincide con quella di y=f'(x).

 

Esempio sul dominio della derivata prima

 

La funzione logaritmica f(x)=\ln(x) è definita su Dom(f)=(0,+\infty) e con dominio della derivata prima dato da \mathit{Dom}(f')=(0,+\infty) (insieme dei punti di derivabilità). La derivata prima è f'(x)=\frac{1}{x} e, come potete vedere, la funzione g(x)=\frac{1}{x} ha dominio \mathbb{R}-\{0\}.

 

6.1) Individuare il dominio della derivata prima

 

La cosa da fare per studiare la derivata prima di una funzione consiste nell'individuarne il dominio, inteso come insieme dei punti in cui f(x) è derivabile. Per farlo possiamo affidarci ad una serie di teoremi relativi alle classi di funzioni derivabili, grazie ai quali riusciremo a limitare il ventaglio dei sospetti punti di non derivabilità ad un numero finito di punti.

 

Sui punti sospetti procediamo con la definizione di funzione derivabile in un punto e calcoliamo i limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra. Attenzione: limiti del rapporto incrementale e non della derivata prima...

 

In questa situazione avremo individuato il dominio della derivata prima \mathit{Dom}(f') e l'insieme dei punti di non derivabilità, che chiameremo N_D. Osserviamo che

 

Dom(f)=\mathit{Dom}(f')\cup N_D

 

e in particolare che:

 

- noi dobbiamo sempre lavorare nell'insieme di definizione della funzione, per cui i punti esclusi dal dominio non ci riguardano;

 

- l'insieme dei punti di non derivabilità N_D include anche gli estremi finiti dell'insieme di definizione, in cui la funzione può essere derivabile da sinistra o da destra ma non derivabile (da entrambe le parti).

 

6.2) Studio della derivata prima per massimi, minimi e monotonia

 

Ora che disponiamo del dominio della derivata prima \mathit{Dom}(f') possiamo innescare il più importante teorema della teoria delle derivate: quello che ci permette di calcolare i massimi e minimi della funzione mediante lo studio del segno della derivata prima.

 

Nella pratica dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione

 

y=f'(x)

 

e risolvere la disequazione per lo studio del segno

 

f'(x)\geq 0

 

I punti in cui la derivata prima si annulla, vale a dire le soluzioni dell'equazione

 

f'(x)=0

 

sono i candidati punti di massimo o di minimo della funzione y=f(x), ossia i candidati punti estremanti della funzione.

 

Per sapere se i punti x che annullano la derivata prima sono punti di massimo, punti di minimo oppure nulla, dobbiamo risolvere la disequazione f'(x)\geq 0 e studiare il segno della derivata prima:

 

- sugli intervalli su cui la derivata prima è positiva, f'(x)>0, la funzione sarà monotona strettamente crescente;

 

- sugli intervalli su cui la derivata prima è negativa, f'(x)<0, la funzione sarà monotona strettamente decrescente;

 

Le eventuali variazioni di segno della derivata prima in corrispondenza dei punti in cui essa si annulla determineranno la natura di tali punti. A titolo esemplificativo supponiamo che x=x_1 sia un punto che annulla la derivata prima:

 

- se la derivata y=f'(x) è positiva in un intorno sinistro di x=x_1 e negativa in un intorno destro, ne consegue che y=f(x) cresce a sinistra di x=x_1 e decresce a destra. Di conseguenza x=x_1 è punto di massimo relativo per la funzione y=f(x).

 

- se la derivata y=f'(x) è negativa in un intorno sinistro di x=x_1 e positiva in un intorno destro, ne consegue che y=f(x) decresce a sinistra di x=x_1 e cresce a destra. Di conseguenza x=x_1 è punto di minimo relativo per la funzione y=f(x).

 

- se la derivata y=f'(x) è negativa sia a destra che a sinistra di x=x_1, oppure positiva sia a destra che a sinistra, allora non abbiamo variazioni di segno. Di conseguenza la funzione non presenta variazioni di monotonia in x=x_1, che si classifica come punti di flesso a tangente orizzontale e non è un punto né di massimo, né di minimo.

 

La terza eventualità è quella che si manifesta, ad esempio, nel caso delle potenze di x con esponente dispari in x=0.

 

Tutte queste considerazioni riguardano - lo ribadiamo - i punti nel dominio della derivata prima \mathit{Dom}(f'). Arrivati a questo punto metteremo da parte i punti estremanti che avremo individuato, concludendo temporaneamente che essi sono punti di massimo e di minimo relativo.

 

6.3) Studio dei punti di non derivabilità: possibili massimi e minimi

 

Se vi ricordate le definizioni di punto di massimo e di minimo saprete sicuramente che esse, nelle proprie formulazioni, non prevedono di scomodare la derivata prima. Non dimentichiamoci che lo studio della derivata prima riguarda solamente i punti di derivabilità della funzione.

 

Che dire quindi dei punti di non derivabilità, ossia i punti dell'insieme che abbiamo denominato N_D? Essi possono celare dei punti di massimo e di minimo, perché la funzione y=f(x) è ivi valutabile.

 

Avendo già tutte le informazioni necessarie sulla monotonia della funzione, ci basterà controllare l'andamento della funzione (crescita e decrescita) intorno ai punti di non derivabilità (compresi gli estremi finiti del dominio e appartenenti ad esso) e desumerne l'eventuale natura di punti di massimo o di minimo. Un controllo manuale immediato, niente di più. ;)

 

6.4) Valutazione nei punti di massimo/minimo e distinzione tra massimi e minimi relativi o assoluti

 

Non ci resta che trarre le dovute conclusioni: abbiamo un insieme di punti di massimo e di minimo del tipo x=x_i e non ci resta che:

 

- individuare i corrispondenti valori, ossia le ordinate che la funzione y=f(x) assume in tali punti. Tali valori prendono propriamente il nome di massimi e minimi relativi

 

y=f(x_i)

 

- Confrontare tutti i massimi e tutti i minimi tra loro, tenendo conto del comportamento globale della funzione e dei limiti agli estremi del dominio, per stabilire quali tra essi siano il massimo assoluto ed il minimo assoluto. Il massimo ed il minimo assoluto possono anche non esistere, e se esistono possono esserci diversi punti di massimo/minimo assoluto che li realizzano.

 

Per approfondire: distinguere massimi e minimi assoluti da quelli relativi.

 

 

Nota bene: delle variazioni di monotonia potrebbero manifestarsi anche in corrispondenza di punti esclusi dal dominio della funzione y=f(x), ossia da Dom(f), come nel caso degli asintoti verticali. Tali punti non richiedono alcun tipo di classificazione! ;)

 

 

Massimi e minimi assoluti e relativi nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Richiamiamo l'insieme di definizione:

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

La funzione è derivabile in ogni punto del dominio, in quanto composizione e rapporto di funzioni che sono derivabili in ogni punto del dominio.

 

\mathit{Dom}(f')=Dom(f)

 

Calcoliamo la derivata prima della funzione. Per farlo, dobbiamo applicare la regola di derivazione del rapporto di funzioni:

 

\\ f'(x)=\frac{\frac{1}{x+1}\left(-2-\ln{\left(x+1\right)}\right)-\ln{\left(x+1\right)}\left(-\frac{1}{x+1}\right)}{\left[-2-\ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}=\\ \\ \\ =\frac{-2}{(x+1)\left[-2-\ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}

 

Per quanto riguarda i candidati a punti di massimo o minimo, consideriamo l'equazione

 

f'(x)=0

 

Ricordiamoci che lavoriamo sempre nel dominio della funzione, dunque le condizioni di esistenza delle soluzioni non sono necessarie

 

\frac{-2}{(x+1)\left[-2-\ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}=0

 

che però non ammette soluzioni (-2=0 impossibile).

 

Studiamo il segno della derivata prima, grazie al quale potremo capire su quali intervalli la funzione y=f(x) cresce e dove decresce: per scoprirlo, risolviamo la disequazione

 

f'(x)\geq 0

 

ossia

 

\frac{-2}{(x+1)\left[-2-\ln{\left(x+1\right)}\right]^{2}}\geq 0

 

Anche in questo caso le condizioni di esistenza non sono necessarie. Risolviamo la disequazione fratta

 

N\geq 0)\ \ \ -2\geq 0 impossibile (linea tratteggiata)

 

D>0): il primo fattore conduce a x>-1, il secondo è invece un quadrato ed è quindi non negativo \forall x\in Dom(f) (l'unico punto in cui il denominatore si annulla è già escluso dal dominio).

 

Il grafico dei segni per la disequazione è allora

 

Tabella per lo studio del segno della derivata prima

 

Morale: la funzione decresce su tutto il proprio dominio e non sono presenti punti di massimo né di minimo.

 

 


 

Sappiamo a cosa state pensando: che esempio disgraziato... Niente paura: al termine delle lezioni ve ne proporremo uno molto più tosto e patologico. ;) Prima però non perdetevi il penultimo passaggio della guida, quello dedicato allo studio della derivata seconda; chi sta leggendo per ripassare può cimentarsi può anche cimentarsi direttamente con gli esercizi sullo studio di funzione, a voi la scelta! :)

 

 

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