Limiti agli estremi del dominio

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Limiti agli estremi del dominio e ricerca degli asintoti

 

Con estremi del dominio si intendono i "confini" del dominio della funzione y=f(x) considerata. Per farci un'idea, supponiamo che la nostra funzione y=f(x) abbia dominio

 

(-\infty,a)\cup(a,b)\cup(c,+\infty).

 

In tal caso, con estremi del dominio si intendono -∞, a, b, c, +∞.

 

Si tratta ora di capire come la funzione si comporta in corrispondenza dei punti in cui non è definita. Non potendo valutare la funzione in tali punti, l'unica cosa che possiamo fare è valutarne il comportamento in corrispondenza di essi, ovvero in un loro intorno (sinistro, destro o completo a seconda dei casi). Nell'esempio calcoliamo:

 

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}   e   \lim_{x\to +\infty}{f(x)}

 

come anche

 

\lim_{x\to a^{-}}{f(x)},   \lim_{x\to a^{+}}{f(x)},   \lim_{x\to b^{-}}{f(x)},   \lim_{x\to c^{+}}{f(x)}.

 

Con i limiti per x tendente all'infinito possiamo vedere se la funzione ha asintoti orizzontali, oppure obliqui, oppure nessun asintoto. Con i limiti per x tendente ai suddetti valori finiti possiamo vedere se vi sono asintoti verticali (vale a dire una discontinuità di seconda specie) oppure altri punti di discontinuità (prima o terza specie) senza asintoti verticali.

 

Qui è difficile essere ultra-sintetici e ridurre all'osso le lezioni che trattano nel dettaglio gli argomenti correlati. Di sicuro servono le lezioni su asintoti orizzontali, su quelli verticali e su quelli obliqui. Anche lì, oltre alle spiegazioni teoriche dettagliate, troverai esercizi correlati, con suggerimenti e soluzioni. Per quanto riguarda i limiti.......ti arrabbi se ti mettiamo qui il link alla categoria delle lezioni sui limiti? Laughing

 

 

Nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Calcoliamo i seguenti limiti:

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=-1,   quindi y=-1 è asintoto orizzontale per y=f(x).

\lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=-1,   quindi x=-1 è un punto di discontinuità di terza specie per y=f(x).

\lim_{x\to \left(e^{-2}-1\right)^{-}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=-\infty,   a sinistra del punto

\lim_{x\to \left(e^{-2}-1\right)^{+}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=+\infty,   a destra, quindi x=e-2-1 è asintoto verticale per la funzione.

 

 

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