Limiti agli estremi del dominio

State leggendo la quinta lezione della guida sullo studio di funzione, dedicata ai limiti agli estremi del dominio. Qui vedremo come effettuare lo studio agli estremi dell'insieme di definizione e come procedere per il calcolo degli asintoti, i quali forniscono ulteriori informazioni per impostare il grafico qualitativo.

 

Ovviamente per procedere è necessario avere una buona dimestichezza con la teoria dei limiti e con le relative tecniche di calcolo.

 

Nel caso vogliate consultare l'elenco completo dei passaggi per lo studio di funzione, vi rimandiamo alla pagina del link. ;)

 

Step 5: limiti agli estremi del dominio e asintoti

 

Con estremi del dominio si intendono i "confini" dell'insieme di definizione della funzione y=f(x) considerata. Per farci un'idea, supponiamo che la nostra funzione y=f(x) abbia dominio

 

Dom(f)=(-\infty,a)\cup(a,b)\cup[c,d]\cup(e,+\infty)

 

In tal caso, con estremi del dominio si intendono -\infty,\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ +\infty.

 

Lo studio del comportamento di una funzione agli estremi del dominio può avvenire in due modi: mediante valutazioni della funzione negli estremi inclusi o mediante il calcolo dei limiti per x che si avvicenda all'estremo non incluso.

 

 

Estremi del dominio inclusi

 

Se una funzione è definita in un estremo del dominio, tale estremo deve essere necessariamente finito: è il caso degli estremi x=c,\ x=d nell'esempio precedente, in cui la notazione degli intervalli include i punti x=c,\ x=d nell'insieme di definizione.

 

In tale eventualità potremo limitarci a valutare la funzione negli estremi finiti ed inclusi nel dominio:

 

\\ y=f(c)\ \ \ (c,f(c))\mbox{ appartiene al grafico}\\ \\ y=f(d)\ \ \ (d,f(d))\mbox{ appartiene al grafico}

 

Il calcolo dei limiti da sinistra per x\to c^+ e da destra per x\to d^- è opzionale e serve a stabilire se la funzione è continua da destra o da sinistra nei rispettivi casi

 

\\ \mbox{Se }\lim_{x\to c^+}f(x)=f(c)\ \to\ \mbox{continua da destra in }x=c\\ \\ \mbox{Se }\lim_{x\to d^-}f(x)=f(d)\ \to\ \mbox{continua da sinistra in }x=d

 

 

Estremi del dominio esclusi

 

Si tratta ora di capire come la funzione si comporta in corrispondenza degli estremi del dominio in cui non è definita. Non potendo valutare la funzione in tali punti, l'unica cosa che possiamo fare è valutarne il comportamento in corrispondenza di essi, ovvero in un loro intorno (sinistro, destro o completo a seconda dei casi).

 

Nell'esempio dovremo calcolare i limiti agli estremi illimitati dell'insieme di definizione

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{f(x)}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{f(x)}

 

e i limiti agli estremi limitati dell'insieme di definizione

 

\\ \lim_{x\to a^{-}}{f(x)}\\ \\ \lim_{x\to a^{+}}{f(x)}\\ \\ \lim_{x\to b^{-}}{f(x)}\\ \\ \lim_{x\to e^{+}}{f(x)}

 

Con i limiti per x tendente all'infinito possiamo stabilire se la funzione ha asintoti orizzontali, oppure obliqui, oppure nessun asintoto. Con i limiti per x tendente ai suddetti valori finiti possiamo vedere se vi sono asintoti verticali (vale a dire una discontinuità di seconda specie) oppure no.

 

Poiché qui non possiamo esporre in sintesi i metodi di studio e calcolo degli asintoti, vi rimandiamo in caso di necessità alle seguenti lezioni:

 

- asintoto orizzontale

 

- asintoto verticale

 

- asintoto obliquo 

 

in cui, oltre alle spiegazioni teoriche dettagliate, troverai esercizi correlati, con suggerimenti e soluzioni. ;)

 

 

Nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Avendo già determinato l'insieme di definizione della funzione, che è

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

dobbiamo calcolare i seguenti limiti:

 

\\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}\\ \\ \\ \lim_{x\to \left(e^{-2}-1\right)^{-}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \left(e^{-2}-1\right)^{+}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}

 

Procediamo:

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=-1

 

Per determinare il risultato è sufficiente procedere con il confronto tra infiniti. Ne deduciamo che y=-1 è asintoto orizzontale per y=f(x) al tendere di x\to+\infty.

\lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=-1

 

dove per effettuare il calcolo si ricorre al confronto tra infiniti e alle regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi. Per x\to -1 da destra il grafico della funzione converge al punto (-1,-1), senza raggiungerlo.

 

\lim_{x\to \left(e^{-2}-1\right)^{-}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=-\infty

 

dove il calcolo si effettua applicando le regole per l'algebra di infiniti e infinitesimi \left(\frac{-2}{0^+}\right). In un intorno sinistro del punto la funzione diverge negativamente all'infinito.

 

\lim_{x\to \left(e^{-2}-1\right)^{+}}{\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}}=+\infty

 

Come sopra \left(\frac{-2}{0^-}\right). In un intorno destro del punto la funzione diverge positivamente all'infinito. In conclusione x=e^{-2}-1 è un asintoto verticale per la funzione, e in particolare è un asintoto verticale bilatero.

 

 


 

Il prossimo passaggio riguarda lo studio della derivata prima per la monotonia e i punti estremanti della funzione. Chi ha letto per ripassare e si sente già pronto può cimentarsi sin da subito con gli esercizi sullo studio di funzione. ;)

 

 

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