Studio del segno di una funzione

State leggendo la quarta lezione della guida sullo studio di funzione. Qui ci occupiamo dello studio del segno, grazie al quale saremo in grado di individuare le zone del piano cartesiano in cui il grafico della funzione giace al di sopra o al di sotto dell'asse x.

 

Questo argomento viene trattato nel dettaglio nella lezione frontale sul segno di una funzione, in cui potete trovare esercizi con suggerimenti e svolgimenti.

 

Se volete passare all'elenco dei passaggi dello studio di funzione, vi rimandiamo alla pagina del link. Questa è una guida rapida: nella sezione di Analisi Matematica trovate le lezioni standard su tutto ciò che riguarda le funzioni.

 

Step 4: studiamo il segno della funzione


Studiare il segno di una funzione y=f(x) serve a capire su quali intervalli dell'insieme di definizione la funzione è positiva o negativa.

 

In termini pratici, studiando il segno di una funzione saremo in grado di capire su quali intervalli dell'asse delle ascisse il grafico si trova al di sopra dell'asse x e in quali intervalli si trova al di sotto di esso.

 

Le eventuali variazioni di segno si manifestano nelle intersezioni con l'asse x, che hanno la forma (x_i,0) e che abbiamo già calcolato nel passaggio precedente.

 

Per conoscere il segno della funzione, basta risolvere la disequazione

 

f(x)> 0\ \ \ \mbox{in }Dom(f)


e ricordare che bisogna prendere in considerazione solamente le soluzioni che rientrano nel dominio della funzione Dom(f). Tutte le altre vanno scartate.

 

 

Abbreviare lo studio di funzione: segno e intersezioni con l'asse x in un colpo solo

 

A nessuno piace fare calcoli inutili. Vi facciamo notare che la ricerca delle intersezioni con l'asse x del passaggio 3 può essere evitata, perché può essere facilmente inclusa nello studio del segno della funzione. Per avere la botte piena e la moglie ubriaca ci basta risolvere la disequazione

 

f(x)\geq 0\ \ \ \in Dom(f)

 

Così facendo riusciamo ad individuare in un colpo solo le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x (f(x)=0) e gli intervalli su cui la funzione è positiva (f(x)>0), ossia gli intervalli dell'asse delle ascisse su cui il grafico è situato nel semipiano ad ordinate positive.

 

Il complementare dell'insieme delle soluzioni nel dominio Dom(f) sarà invece costituito dagli intervalli su cui la funzione è negativa, ossia gli intervalli dell'asse delle ascisse su cui il grafico è situato nel semipiano ad ordinate negative

 

\\ \{x\in Dom(f)\mbox{ t.c. }f(x)\geq 0\}\ \to\ \begin{cases}f(x)>0\ :\ \mbox{grafico sopra asse }x\\ f(x)=0\ :\ \mbox{intersezioni asse }x\end{cases}\\ \\ \\ \{x\in Dom(f)\mbox{ t.c. }f(x)<0\}\ \to\ \mbox{grafico sotto asse }x

 

Ovviamente la ricerca dell'intersezione con l'asse y esula da questo discorso e va comunque effettuata, come mostrato nella lezione precedente. È altrettanto ovvio che non dobbiamo risolvere anche la disequazione f(x)<0, le cui soluzioni possono essere determinate a occhio dall'insieme delle soluzioni di f(x)\geq 0 e tenendo conto del dominio.

 

 

Osservazione (studio del segno e disequazioni trascendenti)

 

Se siete alle prime armi, tralasciate pure il seguente paragrafo e passate oltre. Verrà un momento in cui, risolvendo gli esercizi più avanzati, tornerete qui per pura e semplice necessità... ;)

 

Se invece avete già una panoramica completa sullo studio di funzione, e se avete svolto un buon numero di esercizi, vi sarete sicuramente accorti che lo studio del segno non è sempre tutto rose e fiori. A volte, quando affrontiamo funzioni particolarmente ostiche, lo studio del segno si traduce in una disequazione che non può essere risolta con alcuno dei metodi noti per la risoluzione delle disequazioni.

 

In altri termini può capitare (seconda prova di Matematica o esami universitari) che la disequazione per il segno della funzione non sia risolvibile algebricamente. In tal caso si parla di una disequazione trascendente che può essere risolta solamente con il metodo grafico, e che richiederà essa stessa di effettuare due piccoli studi di funzione nello studio di funzione.

 

Se vi siete imbattuti in un caso del genere non fatevi scoraggiare: leggete la lezione e aggiungete un'arma in più al vostro bagaglio matematico. ;)

 

Studio del segno della funzione nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Risolviamo la disequazione

 

f(x)\geq 0

 

ossia

 

\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}\geq 0

 

Le condizioni di esistenza delle soluzioni possono essere tralasciate, a patto di ricordarci che stiamo lavorando nell'insieme di definizione della funzione, già calcolato in precedenza:

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

In accordo con il metodo di risoluzione delle disequazioni fratte studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, richiedendo che il numeratore sia maggiore o uguale a zero e che il denominatore sia maggiore di zero

 

\\ N\geq 0)\ \ \ \ln{\left(x+1\right)}\geq 0\\ \\ D>0)\ \ \ -2-\ln{\left(x+1\right)}>0

 

Entrambe le disequazioni logaritmiche sono di semplice risoluzione

 

\\ N\geq 0)\ \ \ x\geq 0\\ \\ D>0)\ \ \ x<e^{-2}-1

 

e tracciamo il grafico di disequazione per confrontare i segni di numeratore e denominatore, ricordandoci di limitare l'analisi al dominio di y=f(x)

 

 

Tabella per lo studio del segno di una funzione

Pallino: punto incluso
Croce: punto escluso 

 

 

Se ne deduce che y=f(x) è positiva per e^{-2}-1<x<0, negativa per -1<x<e^{-2}-1 e per x>0, e che la funzione interseca l'asse x nel punto di ascissa x=0, dunque nel punto di coordinate (0,0).

 

Con la notazione degli intervalli è tutto più elegante:

 

\\ f(x)\mbox{ positiva su }(e^{-2}-1,0)\\ \\  f(x)=0\mbox{ in }x=0\\ \\ f(x)\mbox{ negativa su }(-1,e^{-2}-1)\cup(0,+\infty)

 

 


 

Il passaggio successivo riguarda il calcolo dei limiti agli estremi del dominio e la ricerca di eventuali asintoti. Se avete dubbi sullo studio del segno di una funzione vi rimandiamo ad una lettura della lezione di teoria; se invece siete qui per ripassare e vi sentite già pronti, potete mettervi alla prova con gli esercizi sullo studio di funzione. ;)

 

 

Lezione precedente............Lezione successiva

 


Tags: studiare il segno nello studio della funzione e utilità del segno per il grafico.