Intersezioni con gli assi

Con l'espressione intersezioni con gli assi si indicano le intersezioni del grafico di una funzione con gli assi cartesiani; se esistono, tali intersezioni hanno coordinate della forma (0,f(0)) e (f-1(0),0).

 

State leggendo la terza lezione della guida sullo studio di funzioni e che riguarda in particolare il calcolo delle intersezioni del grafico con gli assi cartesiani.

 

Se volete leggere la guida sullo studio di funzione e vedere l'elenco completo dei passaggi, vi rimandiamo alla pagina del link. Questa è una lezione di sintesi: nella sezione di Analisi 1 trovate le lezioni standard su tutto ciò che riguarda le funzioni.

 

Step 3: intersezioni con gli assi

 

Le intersezioni con gli assi sono i punti in cui il grafico della funzione y=f(x) interseca gli assi cartesiani, vale a dire l'asse delle ordinate x=0 e l'asse delle ascisse y=0.

 

Va precisato sin da subito che in generale una funzione potrebbe non intersecare alcuno dei due assi, oppure potrebbe intersecarne soltanto uno, o eventualmente entrambi. Lo studio e il calcolo delle coordinate cartesiane dei punti di intersezione con gli assi serve in ogni caso ad individuare dei buoni punti di riferimento, che ci agevoleranno parecchio nella rappresentazione del grafico della funzione.

 

Intersezione con l'asse delle ordinate (asse y)

 

Il grafico di una funzione può intersecare o non intersecare l'asse y ma, se lo interseca, lo può intersecare solo una volta in accordo con la definizione di funzione. Una funzione è infatti una legge che associa ad un valore x uno ed un solo valore y.

 

Se il valore x=0 appartiene all'insieme di definizione della funzione, allora il grafico della funzione interseca l'asse y. In caso contrario, se x=0\not\in Dom(f), allora non è presente alcuna intersezione con l'asse delle ordinate.

 

Per calcolare l'ordinata del punto di intersezione con l'asse y dobbiamo semplicemente valutare la funzione in corrispondenza dell'ascissa x=0

 

\mbox{Ordinata intersezione asse }y:\ \ \ f(0)

 

ossia sostituire il valore x=0 nell'espressione della funzione. Dopo averla calcolata avremo immediatamente le coordinate del punto di intersezione con l'asse delle y

 

\mbox{Coordinate intersezione asse }y:\ \ \ (0,f(0))

 

Intersezioni con l'asse delle ascisse (asse x)

 

In generale il grafico di una funzione può intersecare o non intersecare l'asse x, e se lo interseca può farlo in uno o più punti.

 

Per calcolare le coordinate dei punti di intersezione con l'asse x, di equazione y=0, dobbiamo domandarci quali sono i valori di x per i quali la funzione si annulla. Dobbiamo quindi risolvere l'equazione

 

f(x)=0\ \to\ \mbox{ascisse intersezioni asse }x

 

Tale equazione potrebbe essere impossibile oppure ammettere una o più soluzioni x_i. In quest'ultimo caso le coordinate delle intersezioni con l'asse x saranno

 

\mbox{Coordinate intersezioni asse }x:\ \ \ (x_i,0)

 

È utile osservare che risolvere l'equazione f(x)=0 corrisponde a determinare la controimmagine del valore y=0 mediante la funzione f: la controimmagine di y=0 è infatti l'insieme delle ascisse tali per cui le corrispondenti valutazioni della funzione sono nulle.

 

Intersezioni con gli assi nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Ha senso calcolare l'intersezione con l'asse y? Se ricontrolliamo il dominio della funzione, calcolato in precedenza

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

vediamo che x=0\in Dom(f). Quindi sì, ha senso. Calcoliamo la valutazione f(0) in modo da trovare l'ordinata del punto di intersezione

 

y=f(0)=\frac{\ln{\left(0+1\right)}}{-2-\ln{\left(0+1\right)}}=\frac{\ln(1)}{-2-\ln(1)}=\frac{0}{-2}=0

 

e da qui deduciamo che il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse nell'origine degli assi: O=(0,0).

 

Per calcolare le intersezioni con l'asse delle x dobbiamo ricavare le ascisse dei punti di intersezione risolvendo l'equazione f(x)=0

 

\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}=0

 

Notate che possiamo tralasciare le condizioni di esistenza perchè si presuppone di lavorare nel dominio della funzione. Possiamo così cancellare il denominatore, ottenendo l'equazione logaritmica

 

\\ \ln{\left(x+1\right)}=0\\ \\ x+1=e^0

 

da cui x=0.

 

Come c'era da aspettarsi, poiché la funzione interseca l'asse y nel punto O=(0,0), esso è anche un punto di intersezione con l'asse delle ascisse. L'unicità della soluzione dell'equazione ci dice inoltre che non esistono altri punti di intersezione con l'asse x.

 

 


 

Il prossimo passaggio del procedimento di studio delle funzioni riguarda lo studio del segno. Vi aspettiamo lì, a meno che non stiate leggendo per ripassare: in tal caso potreste voler affrontare sin da ora gli esercizi sullo studio di funzione. ;)

 

 

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