Studio di parità e disparità

State leggendo la seconda lezione della guida sullo studio delle funzioni reali di variabili reali. Qui ci occupiamo del secondo passaggio da effettuare, ossia lo studio della parità e della disparità.

 

La lezione è piuttosto sintetica perché è contestualizzata al procedimento per lo studio di funzione. Se volete ripartire dalle basi vi invitiamo a leggere la spiegazione su funzioni pari e dispari.

 

Per consultare il riepilogo dei passaggi per lo studio di funzione - click. Questa è una guida rapida: nella sezione di Analisi 1 sono disponibili le lezioni standard su tutto ciò che riguarda le funzioni.

 

Step 2: eventuali parità o disparità della funzione

 

Capire se la funzione y=f(x) che stiamo studiando è pari, dispari o nessuna delle due cose è estremamente utile. Dal significato geometrico di parità e disparità:

 

- se una funzione è pari, allora per definizione ha il grafico simmetrico rispetto all'asse delle y;

 

- se una funzione è dispari, allora per definizione ha il grafico simmetrico rispetto all'origine degli assi O=(0,0) del piano cartesiano.

 

È dunque chiaro che in una di tali eventualità il lavoro per effettuare lo studio di funzione ne risulterebbe dimezzato.

 

Come verificare parità e disparità nella pratica

 

Dopo aver determinato l'insieme di definizione della funzione (passaggio 1 dello studio di funzione), osserviamolo: l'unica condizione affinché abbia senso controllare l'eventuale parità o disparità della funzione è che il dominio sia simmetrico rispetto al valore x=0.

 

Senza simmetria nel dominio non può infatti esservi alcuna simmetria per il grafico della funzione.

 

Ricordatevi inoltre che il dominio è un sottoinsieme Dom(f)=\mathbb{R} che noi dovremo visualizzare sull'asse x.

 

Esempi di domini simmetrici rispetto all'origine sono i seguenti:

 

\\ Dom(f)=[-2,2]\\ \\ Dom(f)=(-\infty,+\infty)\\ \\ Dom(f)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

 

mentre non sono domini simmetrici rispetto a zero

 

\\ Dom(f)=[-5,4]\\ \\ Dom(f)=(1,10)\\ \\ Dom(f)=[-3,-1)\cup [1,3]

 

Se il dominio non è simmetrico non ci poniamo nemmeno il problema: la funzione non è certamente pari né dispari. Possiamo proseguire nello studio di funzione.

 

Se invece il dominio è simmetrico dobbiamo considerare l'espressione analitica y=f(x) ed effettuare la valutazione

 

f(-x)

 

In parole povere dobbiamo sostituire, al posto della x nell'espressione analitica della funzione, il termine (-x). Le parentesi sono fondamentali perché ci eviteranno pessimi errori di distrazione o di segno.

 

Se, svolgendo i calcoli, risulta:

 

f(-x)=f(x) allora la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse y);

 

f(-x)=-f(x) allora la funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine);

 

• in qualsiasi altro caso la funzione non è pari né dispari.

 

 

Osservazione (importanza di parità e disparità nello studio di funzione)

 

Come abbiamo già scritto, sapere di avere a che fare con una funzione pari o dispari dimezza a tutti gli effetti la mole di calcoli prevista dallo studio di funzione. Nell'ipotesi di parità o disparità possiamo limitarci a studiare la funzione sulla parte del dominio contenuta in [0,+\infty), il che semplifica molto le cose.

 

Tutte le informazioni relative alle ascisse negative, compresa la parte di grafico contenuta nel semipiano ad ascisse negative, potrà essere facilmente dedotta per simmetria assiale rispetto all'asse x (parità) o per simmetria centrale rispetto all'origine degli assi (disparità).

 

Parità e disparità nel nostro esempio

 

f(x)=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Per vedere se la funzione è pari, dispari oppure nè pari nè dispari, osserviamo innanzitutto il dominio. Essendo

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

possiamo già concludere che la funzione di esempio non è pari né dispari e passare al punto successivo dello studio.

 

 


 

Il passaggio successivo della guida sullo studio di funzione riguarda le intersezioni del grafico con gli assi cartesiani. In caso di dubbi su quanto appena visto vi suggeriamo una piccola pausa e uno studio più approfondito delle funzioni pari e dispari; se invece siete in fase di ripasso globale e volete passare direttamente agli esercizi sullo studio di funzione, siete liberi di farlo. ;)

 

 

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Tags: parità e disparità nello studio di funzione - riconoscere se la funzione è pari o dispari ed eventuali simmetrie.