Studio dell'insieme di definizione

Sei finito qui per caso? Stai leggendo le lezioni rapide sui vari passaggi richiesti nello studio di una funzione reale di variabile reale. In questo articolo spieghiamo brevemente come determinare l'insieme di definizione di una funzione, ma se vuoi leggere le regole per il dominio nel dettaglio, consulta la lezione correlata. 

 

Qui trovi l'introduzione della guida sullo studio di funzione. Questa è una guida rapida: nella sezione di Analisi Matematica trovi le lezioni standard su tutto ciò che riguarda le funzioni.

 

Step 1: dobbiamo trovare il dominio della funzione

 

Il dominio di una funzione (insieme di definizione) è quel sottoinsieme di \mathbb{R} in cui y=f(x) è definita. Per farlo, è sufficiente guardare in quali punti o intervalli di \mathbb{R} la funzione non è definita, cioè non ha senso calcolarla.

 

In particolare:

 

  • se ci sono denominatori, ponili diversi da zero;
     
  • se ci sono logaritmi, poni i loro argomenti maggiori strettamente di zero;
     
  • se hai radici con indice pari, poni i radicandi maggiori o uguali a zero.

 

Una volta determinate tutte le condizioni, mettile a sistema. Mettere a sistema in Matematica significa che le condizioni devono valere contemporaneamente.

 

Una volta risolto il sistema, scrivi il dominio di f, che in notazione standard puoi chiamare D oppure Dom(f), nella forma di unione di intervalli.

 

Come si trova il dominio nel nostro esempio?

 

y=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

La funzione considerata presenta due logaritmi naturali, che però sono uguali, e un denominatore. Per il logaritmo, dobbiamo porre l'argomento maggiore strettamente di zero; per il denominatore, dobbiamo porlo in blocco diverso da zero. Queste due condizioni vanno messe a sistema:

 

\left\{\begin{matrix}x+1>0\\-2-\ln{\left(x+1\right)}\neq 0\end{matrix}

 

quindi

 

\left\{\begin{matrix}x>-1\\ \ln{\left(x+1\right)}\neq -2\end{matrix}

 

e dunque

 

\left\{\begin{matrix}x>-1\\ x\neq e^{-2}-1\end{matrix}

 

(dubbi sulla seconda condizione del sistema? Vedi qui: equazioni esponenziali). Il sistema ha così soluzione, che poi è il dominio di y=f(x):

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right).

 

A titolo esemplificativo, possiamo approssimare e-2-1≈-0,86, ma tutte le volte dovremo scrivere e-2-1.

 

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