Insieme di definizione

Siete finiti qui per caso? State leggendo le lezioni della guida sui vari passaggi per lo studio di una funzione reale di variabile reale. In questo articolo spieghiamo brevemente come determinare l'insieme di definizione di una funzione, ma se volete leggere le regole per il dominio nel dettaglio, vi invitiamo a consultare la lezione correlata. 

 

Qui trovate l'introduzione della guida sullo studio di funzione. Ribadiamo che questa è una guida rapida: nella sezione di Analisi 1 trovate le lezioni standard su tutto ciò che riguarda le funzioni.

 

Step 1: determinare l'insieme di definizione della funzione

 

Il dominio di una funzione, o insieme di definizione, è quel sottoinsieme di \mathbb{R} in cui y=f(x) è definita.

 

Per determinare l'insieme di definizione partendo dall'espressione analitica della funzione

 

y=f(x)

 

è sufficiente individuare in quali punti o intervalli di \mathbb{R} la funzione non è definita, ossia i punti e gli insiemi di punti in cui non ha senso valutare la funzione.

 

Per farlo dobbiamo vivisezionare l'espressione analitica della funzione, riconoscere tutti i termini che impongono delle condizioni di esistenza, imporre tali condizioni e determinare il più grande sottoinsieme di \mathbb{R} in cui tutte queste condizioni sono soddisfatte. L'insieme risultante sarà proprio l'insieme di definizione della funzione

 

Come comportarci nella pratica?

 

Riguardo alle condizioni di esistenza bisogna cercare eventuali termini critici e imporre per ciascuno di essi una specifica condizione. Ecco l'elenco completo:

 

- rapporti → denominatore diverso da zero (≠0);

 

- logaritmi → se la base è un numero, l'argomento deve essere maggiore di zero (>0); se la base dipende dall'incognita, la base deve essere maggiore di zero (>0) e diversa da uno (≠1).

 

- radici con indice pari → radicando maggiore o uguale a zero (≥0);

 

- arcoseno / arcocoseno → argomento compreso tra -1 e 1 (doppia disequazione)

 

- esponenziale con base variabile (\mbox{ossia del tipo }[f(x)]^{g(x)} ) → base maggiore di zero (>0)

 

Si noti che le funzioni come tangente e cotangente, secante e cosecante possono essere espresse sotto forma di rapporti. Esse ricadono quindi nella regola dei rapporti: denominatore diverso da zero.

 

Se non compare nessuno dei precedenti termini, allora concluderemo immediatamente che l'insieme di definizione è tutto \mathbb{R}.

 

Condizioni di esistenza a sistema

 

Una volta determinate tutte le condizioni di esistenza, dobbiamo metterle a sistema. Mettere a sistema in Matematica significa che le condizioni devono valere contemporaneamente, ossia estrarre l'intersezione degli insiemi corrispondenti ad ogni singola condizione scritta.

 

Risolvendo il sistema troviamo l'insieme delle soluzioni, che è proprio il più grande insieme su cui tutte le condizioni vengono soddisfatte.

 

Una volta risolto il sistema, scriviamo il dominio di f nella forma di unione di intervalli e lo indichiamo con la notazione Dom(f).

 

 

Raccomandazione 1: possiamo manipolare l'espressione analitica della funzione?

 

No. Se modifichiamo l'espressione della funzione mediante una qualche operazione algebrica rischiamo di uscire dal dominio della funzione per come è scritta nella forma iniziale. Tutte le considerazioni relative all'insieme di definizione devono riguardare la funzione per come si presenta inizialmente.

 

Se ad esempio considerassimo la funzione

 

f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

 

saremmo tentati di riscriverla nella forma f(x)=1. Noi però non lo facciamo e ne determiniamo prima il dominio: Dom(f)=(0,+\infty).

 

Ora che sappiamo dove è definita la funzione, possiamo anche semplificarla e concludere che essa equivale a f(x)=1 solamente su Dom(f)=(0,+\infty); altrove le due espressioni non sono affatto equivalenti perché f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} semplicemente non è definita.

 

Un discorso del tutto analogo vale, ad esempio, nel caso delle frazioni algebriche.

 

 

Raccomandazione 2: a proposito delle disuguaglianze nello studio dell'insieme di definizione

 

Il sistema che ricaviamo analizzando scrupolosamente l'espressione della funzione potrà contenere disequazioni e disuguaglianze. Nella maggior parte dei casi si tratterà cioè di un sistema misto.

 

Non fatevi trarre in inganno: risolvete separatamente le disequazioni e trattate le disuguaglianze come equazioni. Alla fine usate il solito metodo grafico per i sistemi di disequazioni, in modo da determinare gli intervalli che costituiscono l'insieme delle soluzioni.

 

Nell'unione degli intervalli ricordatevi di usare correttamente la notazione degli intervalli atta ad escludere e ad includere i punti (escluso ↔ parentesi tonda ; incluso ↔ parentesi quadra).

 

Insieme di definizione nel nostro esempio

 

y=\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{-2-\ln{\left(x+1\right)}}

 

Guardiamo l'elenco dei termini critici: la funzione considerata presenta due logaritmi naturali, che però sono uguali, e un denominatore.

 

Per il logaritmo dobbiamo porre l'argomento maggiore di zero; il denominatore invece va posto in blocco diverso da zero.

 

Queste due condizioni vanno messe a sistema:

 

\begin{cases}x+1>0\\ -2-\ln{\left(x+1\right)}\neq 0\end{cases}

 

La disequazione di primo grado è piuttosto banale. Per risolvere la disuguaglianza ci limitiamo a trattarla come un'equazione logaritmica

 

\begin{cases}x>-1\\ \ln{\left(x+1\right)}\neq -2\end{cases}

 

e dunque

 

\begin{cases}x>-1\\ x\neq e^{-2}-1\end{cases}

 

Poiché e^{-2}-1\simeq -0,86>1 è immediato capire che il sistema ammette come insieme delle soluzioni

 

-1<x<e^{-2}-1\ \vee\ x>e^{-2}-1

 

che poi è il dominio della funzione y=f(x). Non ci resta che scriverlo come unione di intervalli ricorrendo alle giuste notazioni

 

Dom(f)=\left(-1,e^{-2}-1\right)\cup\left(e^{-2}-1,+\infty\right)

 

A titolo esemplificativo e per agevolare il nostro compito, da qui in poi possiamo immaginare di lavorare con l'approssimazione e^{-2}-1\simeq -0,86, ricavata mediante l'uso della calcolatrice. Quando però scriveremo i vari passaggi dovremo necessariamente indicare il valore esatto e^{-2}-1.

 

 


 

Il passaggio successivo nella procedura dello studio di funzione riguarda lo studio delle simmetrie. Se non vi sentite sicuri vi ribadiamo il nostro invito a leggere la lezione frontale sul dominio. Chi è qui per ripassare può anche cimentarsi sin da subito con gli esercizi sullo studio di funzione, in caso contrario procediamo. ;)

 

 

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