Serie telescopica

In questa lezione parleremo delle serie telescopiche e della serie di Mengoli, che come fra poco vedremo altro non è se non un particolare tipo di serie telescopica. Tali serie rivestono un ruolo chiave in Analisi Matematica perché (insieme alla serie geometrica) sono tra le poche serie di cui si riesce a calcolarne esplicitamente la somma.

 

Cos'è una serie telescopica

 

Si dice serie telescopica una serie del tipo

 

\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n - a_{n+k})

 

oppure

 

\sum_{n=m}^{+\infty}(a_{n+k}-a_n).

 

Se \lim_{n\to +\infty} (a_n) esiste ed è finito allora tale serie converge ed ha come somma:

 

a_1 + a_2 + .....+ a_k

 

dove k è quel numero che vedete all'interno della definizione di serie telescopica e a_1, \ a_2, \ ..... \ a_k si ottengono sostituendo i valori 1, \ 2, \ ..... \ k al posto di n nel termine a_n.

 

 

Potrebbe sembrare ingarbugliato e difficile, ma non lo è assolutamente! Vediamo subito un esempio: data la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+2)^2}\right) verificare che è una serie convergente e determinarne la somma.

 

Osserviamo che la serie proposta è una una serie telescopica, poiché è del tipo \sum_{n=m}^{+\infty} (a_n - a_{n+k}) con a_n = \frac{1}{n^2} e a_{n+k}=a_{n+2}=\frac{1}{(n+2)^2}. Dato che il limite del termine generale esiste ed è finito

 

\lim_{n\to +\infty} (a_n) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n^2}\right) = 0

 

la serie data converge, e la sua somma è data da:

 

a_1+a_2+.....+a_k

 

Essendo in questo caso k=2 la somma sarà data a_1+a_2. In particolare a_1=\frac{1}{1^2}=1 e a_2=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}, dunqe la somma sarà a_1+a_2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.

 

Come avrete potuto notare non c'è niente di difficile.

 

Calcolare la somma di una serie telescopica nel caso generale

 

Le difficoltà maggiori nascono quando abbiamo una serie telescopica che non è data nella forma  canonica \sum_{n=m}^{+\infty} (a_n - a_{n+k}), e dobbiamo ricondurci ad essa per poi calcolarne agevolmente la somma.

 

Supponiamo ad esempio di trovarci di fronte ad un esercizio del genere: verificare che la seguente serie converge e determinarne la somma: \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{n^2+3n}\right).

 

Scomponiamo il termine generale della serie seguendo la logica del metodo dei fratti semplici (metodo che abbiamo visto nel contesto degli integrali e che si riadatta alla perfezione nel calcolo della somma delle serie telescopiche). Dobbiamo determinare due costanti A e B tali per cui

 

\frac{3}{n(n+3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+3}=\frac{An+3A+Bn}{n(n+3)}=\frac{(A+B)n+3A}{n(n+3)}

 

Grazie al principio di identità dei polinomi ricaviamo i valori di A,B confrontando gli estremi della catena di uguaglianze: \left\{ \begin{matrix}A=1 \\ B=-1 \end{matrix}. Pertanto:

 

\frac{3}{n(n+3)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}

 

Siamo in grado di riscrivere la serie di partenza in una forma più agevole

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{n^2+3n}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)

 

ed è evidente che si tratta di una serie telescopica, infatti è del tipo \sum_{n=m}^{+\infty} (a_n - a_{n+k}), con a_n=\frac{1}{n}  e  a_{n+k}=a_{n+3}=\frac{1}{n+3}.

 

Per vedere se converge basta calcolare il limite del termine generale al tendere di n all'infinito, e controllare se tale limite è finito o meno.

 

\lim_{n\to +\infty} (a_n) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right) = 0

 

La serie proposta converge. Per quanto riguarda la somma, essendo k=3:

 

a_1+a_2+a_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.

 

Una serie telescopica particolare: la serie di Mengoli

 

Si dice serie di Mengoli la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n(n+1)}\right)

 

o equivalentemente la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)

 

ottenuta dalla precedente scomponendo il termine generale a_n=\frac{1}{n(n+1)} con le regola dei fratti semplici (come visto nel precedente esempio).

 

La seconda forma ci permette di vedere immediatamente che si tratta di una serie telescopica. Dato che il limite del termine generale è evidentemente finito

 

\lim_{n\to +\infty} (a_n) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right) = 0

 

la serie di Mengoli converge ed ha per somma a_1=1. A proposito: s'è parlato della serie di Mengoli anche nel topic del link.

 

 


 

Questo conclude la lezione e tutto quello che c'è da sapere sulle serie telescopiche. Se volete esercitarvi potete usare la barra di ricerca: troverete un sacco di esercizi svolti...e se ancora non dovesse bastare potrete sempre chiedere una mano nel Forum. Wink

 

Alla prossima,

Galois

 

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