Serie armonica

In questa lezione vedremo tutti i tipi possibili ed immaginabili tipi di serie armonica: la serie armonica standard, la serie armonica generalizzata, la serie armonica di segno alterno e quelli che molti conoscono col nome di serie armonica modificata.

 

Non ci sarà nulla di difficile! Diciamo che questa più di una vera e propria lezione è una rassegna di tutti i vari tipi di serie armonica dove vedremo come sono definite e soprattutto quando convergono e quando divergono.

 

Tutto questo servirà perché nell'utilizzo del criterio del confronto e del criterio del confronto asintotico (che sono fra i più utilizzati per lo studio del carattere di una serie e che verdemo nel seguito) nella maggior parte dei casi vi ricondurrete ad esse. Sapere a priori come vanno le cose ci agevolerà di molto il compito. Inoltre non di rado si incontrano nella dimostrazione di teoremi anche nei corsi superiori di Analisi Matematica, quindi, anche se semplici, non sottovalutatele.

 

Serie armonica

 

Si dice serie armonica la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

 

Si vede immediatamente che è una serie a termini positivi, e si dimostra che essa diverge positivamente.

 

Serie armonica generalizzata

 

Sia \alpha un numero reale. Si dice serie armonica generalizzata la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}

 

Anch'essa, indipendemente dal valore di \alpha, è una serie a termini positivi e come tale non potrà essere una serie irregolare. Possiamo essere più precisi e dire che tale serie:

 

- converge se \alpha \textgreater 1;

- diverge positivamente se \alpha \leq 1.

 

Osservate che per \alpha=1 si ottiene la serie armonica.

 

Serie armonica a segni alterni

 

Sia \alpha un numero reale positivo. Si dice serie armonica a segno alterno la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{n^{\alpha}}

 

Tale serie converge per ogni \alpha>0. Per chi avesse già avuto modo di studiare la convergenza assoluta (gli altri passino oltre, ce ne occuperemo più avanti) la serie armonica a segno alterno:

 

- converge assolutamente per \alpha \textgreater 1

- converge semplicemente per 0\textless \alpha \leq 1

 

Serie armonica modificata

 

Sia \alpha un qualsiasi numero reale. Si dice serie armonica modificata la serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha} (log(n))^{\beta}}

 

Tale serie:

 

- converge per \alpha > 1 e \forall \beta;

converge per \alpha = 1 e \beta>1;

- diverge positivamente per \alpha=1 e \beta\leq 1;

- diverge positivamente per \alpha< 1.

 

 


 

 

Abbiamo terminato! Sarebbe assurdo dirvi di ricordare a memoria tutti questi risultati. Per ora sappiate solo riconoscerle e tenete ben presente questa lezione. Vedrete poi che col tempo, senza accorgervene, diventeranno parte del vostro bagaglio culturale. 

 

Esempi sulla convergenza della serie armonica

 

A) Determinare il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-5}

 

Molto semplicemente basta osservare che: n^{-5}=\frac{1}{n^5}. La serie considerata altro non è se non la serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} con \alpha=5 \textgreater 1 e come tale converge.


B) Data la serie \sum_{n=3}^{+\infty}(-1)^n \left(\frac{1}{(n-2)^2}\right) studiarne la convergenza.


Guardiamola bene. Assomiglia molto alla serie armonica a segno alterno, cerchiamo quindi di ricondurci ad essa: poniamo n-2=k e osserviamo che per n=3 (valore di partenza della nostra serie) k=1. Otteniamo così

 

\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+2} \left(\frac{1}{k^2}\right)

 

che è la serie armonica a segno alterno e come tale converge.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Se doveste avere dubbi o siete alla ricerca di esercizi svolti vi invitiamo ad utilizzare la barra di ricerca. Troverete tutto quello che cercate! Wink Se non dovesse bastare potete chiedere una mano nel Forum, dove l'intera Community di YouMath sarà lieta di aiutarvi.

 

Alla prossima

Galois

 

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