Serie geometrica

Cominciamo la rassegna delle serie notevoli parlando della serie geometrica. In realtà non c'è molto da dire e il suo studio è estremamente semplice, ma come tutte le cose semplici non vanno sottovalutate perché prendendole alla leggera si potrebbe cadere in errore.

 

Essendo lo studio del carattere di una serie geometrica a dir poco immediato, ci si ricondurrà molto spesso ad essa nel corso degli esercizi come pure nelle dimostrazioni di alcuni teoremi che apparentemente non hanno nulla a che fare con le serie numeriche, e che incontrete anche nei corsi successivi ad Analisi 1.

 

Prima di andare a vedere com'è definita una serie geometrica anticipiamo subito che è una delle pochissime serie di cui si riesce a calcolare molto facilmente la somma. Questo è uno dei principali motivi per cui riveste un ruolo chiave.

 

Cos'è una serie geometrica

 

Sia q un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione q la serie:

 

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n

 

Convergenza della serie geometrica

 

Di tale serie, semplicemente guardando il numero reale q, sappiamo praticamente tutto! Infatti:


- se il modulo della ragione q è minore di 1, ossia se -1 \textless q \textless 1, la serie geometrica converge ed ha per somma \frac{1}{1-q}


- se la ragione q è minore o uguale a -1, la serie geometrica è irregolare;


- se la ragione q è maggiore o uguale a 1, la serie geometrica diverge positivamente.


Questo schemino va assolutamente ricordato: tatuaggi, ipnosi, scrivetelo pure sulla fronte...basta che lo ricordiate! Laughing All'inizio sarà qualcosa di imparato a memoria, ma lo utilizzerete talmente tanto che diventerà parte di voi e col tempo ne apprezzerete il valore e l'efficacia.

 

Un'importante osservazione...

 

Per quanto riguarda la serie geometrica è tutto! Prima di passare a qualche esempio, vogliamo richiamare la vostra attenzione su un aspetto: nella serie geometrica n varia da zero a infinito e come esponente della ragione q c'è proprio n. Perché vogliamo sottolinearlo?


Perché se l'indice n non dovesse "partire" da zero ma da un altro intero (ad esempio 1 o 2) il carattere della serie non cambierebbe, ma in caso di convergenza la somma della serie cambierebbe! In altre parole la somma della serie geometrica è


\frac{1}{1-q}

 

a patto però che tale serie sia scritta nella forma \sum_{n=0}^{+\infty} q^n.

 

Esempi sulla serie geometrica

 

A) Determinare il carattere della serie \sum_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^n e se converge determinarne la somma.

 

Siamo di fronte ad una serie geometrica di ragione q=-\frac{2}{3}=0,\bar{6} che è un numero compreso tra -1 e 1. Sappiamo già che essa converge, dunque possiamo calcolarne la somma. Presi dalla foga potremmo erroneamente affermare che la somma è data da:

 

\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}

 

Sbagliato! Osserviamo che nella serie geometrica assegnata n varia da UNO a più infinito e non da zero! Nel calcolo della somma dobbiamo quindi tener conto di questo fatto e sottrarre il termine q^0=\left(-\frac{2}{3}\right)^0=1. Dunque la somma della serie sarà

 

\frac{1}{1-q}-1=\frac{3}{5}-1=-\frac{2}{5}

 

B) Consideriamo ora la serie \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}. Essendo anch'essa una serie geometrica di ragione q=\frac{1}{2} che è un numero compreso tra -1 e 1, come tale convergerà. Passiamo a calcolarne la somma.

 

In questo caso n "parte da zero" e quindi non ci sono problemi, ma l'esponente della ragione q=\frac{1}{2} non è n ma n+1. Ovviamo a tale problema ricordando la definizione del prodotto di una serie per uno scalare:

 

\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n

 

dunque

 

\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}= \sum_{n=0}^{+\infty}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n

 

Ci siamo così ricondotti alla forma \sum_{n=0}^{+\infty} q^n e di questa serie sappiamo come calcolare la somma:

 

\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2

 

per cui la somma della serie geometrica di partenza è

 

\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{2} 2=1

 

 


 

 

Abbiamo visto che lo studio della convergenza di una serie geometrica è immediato, bisogna solo prestare un po' di attenzione al calcolo della somma e in particolare gli indici. Concludiamo l'articolo parlando della successione delle somme parziali di una serie geometrica che, come apprezzerete tra poco, potrà levarci parecchi grattacapi Wink

 

Somma parziale di una serie geometrica

 

Sia \sum_{n=0}^{+\infty} {q^n} una serie geometrica convergente. Allora:

 

(\spadesuit): \ \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1-q^{N+1}}{1-q}

 

ovvero tale formula ci permette di calcolare la somma dei primi N termini della serie. A cosa serve tutto questo? Vediamo un esempio:

 

Studiare il carattere ed eventualmente calcolare la somma della serie:

 

\sum_{n=20}^{+\infty} \left(\frac{1}{5} \right)^n

 

Essendo, quella proposta, una serie geometrica di ragione q=\frac{1}{5} < 1 essa converge. Calcoliamone quindi la somma.

 

Poiché l'indice parte da 20, come abbiamo già visto nell'esempio A dovremmo sottrarre i primi 20 termini, ovvero: q^0, \ q^1, \ q^2, \ ... \ q^{19}. Pensate alla mole di calcoli che c'è dietro e a cosa succederebbe se l'indice partisse da 1000. Surprised

 

Proprio in questi casi ci viene in soccorso la formula per la somma parziale di una serie geometrica. Possiamo infatti scrivere la nostra serie di partenza come differenza tra due serie:

 

\sum_{n=20}^{+\infty} \left(\frac{1}{5} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{5} \right)^n - \sum_{n=0}^{19} \left(\frac{1}{5} \right)^n

 

Ora:

 

 \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{5} \right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{4}

 

e, per (\spadesuit):

 

\sum_{n=0}^{19} \left(\frac{1}{5} \right)^n=\frac{1-\frac{1}{5^{20}}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{4} \left(1-\frac{1}{5^{20}} \right)=\frac{5}{4} - \frac{1}{4 \cdot 5^{19}}

 

Pertanto la somma della nostra serie di partenza è data da:

 

\sum_{n=20}^{+\infty} \left(\frac{1}{5} \right)^n = \frac{5}{4} - \left[ \frac{5}{4} - \frac{1}{4 \cdot 5^{19}} \right] = \frac{1}{4 \cdot 5^{19}}

 

Se vuoi approfondire il discorso e vedere la dimostrazione per la formula della successione delle somme parziali della serie geometrica. Tra l'altro c'è anche un'altra variante: altra dimostrazione.

 


 

 

Per questa lezione è davvero tutto! Se doveste avere ancora dubbi o perplessità vi invito ad utilizzare la stupenda barra di ricerca che trovate in alto sulla destra, grazie alla quale troverete un sacco di esercizi già svolti con cui potete esercitarvi...e se i dubbi dovessero permanere, potete sempre porre la vostra domanda nel Forum. Wink

 

Alla prossima

Galois

 

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