Operazioni tra serie e risultati sulla convergenza

In questa lezione vedremo le principali operazioni tra serie numeriche: cosa si intende per somma fra due serie? Com'è definito il prodotto di una serie per uno scalare? Nel frattempo introdurremo alcuni facilissimi risultati sulla convergenza che come avremo modo di apprezzare con qualche esempio sono molto utili e molto spesso ci tireranno fuori dai guai.

 

Somma tra serie

 

Siano \sum_{n=1}^{+\infty}a_n e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n due serie numeriche. Si definisce la loro serie somma come la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n+b_n).

 

Fin qui niente di difficile.

 

 

Vediamo ora alcuni risultati sulla convergenza che saranno molto utili negli esercizi

 

1) Se \sum_{n=1}^{+\infty}a_n e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n convergono, anche la somma delle due serie converge.

 

2) Se \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n diverge, o viceversa \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n converge, allora la serie somma \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n+b_n) diverge.

 

3) Se \sum_{n=1}^{+\infty}a_n e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n convergono assolutamente, anche la loro serie somma converge assolutamente

 

Esempi sulla somma tra due serie

 

A) Studiare il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{(-1)^n n^3+n^2+1}{n^5}\right)

 

Studiare il carattere della serie così come si presenta è a dir poco proibitivo. Osserviamo però che possiamo spezzare il termine generale della serie in modo furbo, come somma di due termini

 

\frac{(-1)^n n^3+n^2+1}{n^5}=\frac{(-1)^n n^3}{n^5} + \frac{n^2+1}{n^5}

 

e quindi riscriviamo la serie di partenza come somma di due serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{(-1)^n n^3+n^2+1}{n^5}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left((-1)^n\frac{1}{n^2}\right)+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+1}{n^5}

 

di cui possiamo studiare il carattere separatamente: \sum_{n=1}^{+\infty}\left((-1)^n\frac{1}{n^2}\right) è la serie armonica generalizzata a segno alterno \sum_{n=1}^{+\infty}\left((-1)^n\frac{1}{n^{\alpha}}\right) con \alpha=2 \textgreater 0 e come tale converge.

 

D'altra parte \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+1}{n^5} è una serie a termini positivi, e inoltre possiamo considerare la seguente stima asintotica per poi applicare il criterio del confronto asintotico:

 

\frac{n^2+1}{n^5} \sim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^3}

 

infatti

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{\frac{n^2+1}{n^5}}{\frac{1}{n^3}}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^5} n^3\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n^5+n^3}{n^5}\right)=1.

 

Dato che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} converge, per il criterio del confronto asintotico convergerà anche la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+1}{n^5}.

 

Concludiamo che la serie di partenza, essendo somma di una serie convergente con una serie convergente, convergerà necessariamente (vedi punto 1)).

 

In realtà possiamo dire di più: la prima serie della somma, cioè \sum_{n=1}^{+\infty}\left((-1)^n\frac{1}{n^2}\right), converge assoltamente in quanto la serie dei moduli ad essa associata \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right) è convergente (vedi serie armonica generalizzata). Per il resto il secondo addendo, ossia \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+1}{n^5}, converge assolutamente in quanto è una serie a termini positivi convergente. Per il punto 3) la serie di partenza converge assolutamente in quanto somma di due serie assolutamente convergenti.

 

Facile, no? Tongue Vediamo ora un altro esempio che a prima vista potrebbe sembrare laborioso, ma che con i risultati acquisiti in questa lezione risulterà una passeggiata.

 

B) Stabiliamo se la seguente serie converge o diverge:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{\sqrt{n}+(-1)^n n}{n^2}\right)\right]

 

Studiare la convergenza di questa serie così com'è sarebbe davvero impossibile, dunque proviamo a decomporla nella somma di due serie sulle quali sappiamo lavorare agevolmente.

 

(-1)^n\left(\frac{\sqrt{n}+(-1)^n n}{n^2}\right)=\left((-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n^2}\right)+\left((-1)^{2n} \frac{n}{n^2}\right)=(-1)^n n^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{n}

 

da cui

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{\sqrt{n}+(-1)^n n}{n^2}\right)\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}

 

Con qualche facilissimo conticino ci siamo ricondotti quindi alle due serie 

 

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

 

che converge (vedi serie armonica a segno alterno)

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}

 

che diverge positivamente (vedi serie armonica generalizzata)

 

Conclusione: la serie di partenza divergerà in quanto somma tra una serie divergente ed una convergente, per la regola 2).

 

Prodotto di una serie per uno scalare

 

Siano \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie numerica e \alpha un numero reale strettamente positivo. Definiamo il prodotto tra la serie e lo scalare considerati come la serie data da

 

\alpha \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=\sum_{n=1}^{+\infty} (\alpha a_n)

 

In particolare, è immediato verificare che le due serie hanno lo stesso carattere. Nella pratica, se il termine generale della serie è moltiplicato per un numero reale che "ci dà fastidio", volendo studiare la convergenza/divergenza della serie possiamo "portare fuori lo scalare" senza che cambi nulla. Di certo molti di voi hanno già utilizzato questo risultato senza rendersene conto...Wink

 

Esempio sul prodotto di una serie per uno scalare

 

Proponiamoci di studiare il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}

 

Per semplice definizione di potenza di un numero possiamo riscrivere il termine generale della serie come segue

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]=

 

dopodiché, per l'operazione appena definita

 

=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n.

 

Ora \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} converge in quanto serie geometrica di ragione minore di uno, e come tale convergerà anche la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}. Come avrete notato non abbiamo considerato in alcun modo il fattore \frac{1}{2} fuori dal segno di serie.

 

 


 

Spero abbiate notato come i risultati sulla convergenza della serie somma siano più che utili per svolgere correttamente e nel minor tempo possibile alcuni tipi di esercizi che altrimenti sarebbero davvero difficili, se non impossibili, da affrontare.

 

Alla prossima,

Galois

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati............Lezione successiva


Tags: somma di due serie - convergenza della somma di due serie - prodotto di una serie per uno scalare - operazioni tra serie.