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Criterio di Abel Dirichlet

Vediamo un ulteriore criterio per lo studio del carattere delle serie numeriche: il criterio di Abel Dirichlet. Tale criterio viene affrontato molto raramente nei corsi di Analisi Matematica, ma una lettura e quindi una preparazione più ampia non può che farvi bene. Laughing Vediamone innanzitutto l'enunciato...

 

Enunciato del criterio di Abel-Dirichlet

 

Siano \{a_n\}_n una successione infinitesima (1) e decrescente (2), ossia

 

\lim_{n\to +\infty}(a_n)=0

 

a_{n+1}\leq a_{n} per ogni n \in \mathbb{N}

 

e sia \{b_n\}_n una successione tale che risulti limitata la successione delle somme parziali (3), ovvero

 

la successione \{s_n\}_n il cui termine n-esimo è s_n = \sum_{k=0}^{n} b_k è una successione limitata.

 

Allora (Th.) la serie numerica \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n b_n) è convergente

 


 

Il criterio di Abel-Dirichlet trova più ampio utilizzo per lo studio del carattere delle serie a coefficienti complessi.

Prima di vedere un esempio, notate che non v'è alcuna ipotesi sul segno delle due successioni e che il più famoso criterio di Leibniz è un caso particolare del criterio di Abel Dirichlet. Basta infatti prendere come b_n la successione (-1)^n

 

Esempio sul criterio di Abel-Dirichlet

 

Usiamo il criterio di Abel-Dirichlet per studiare il carattere della serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\sin(n)\frac{\log(n)}{n^3}\right).

 

Poniamo a_n=\frac{\log(n)}{n^3} e b_n=\sin(n). Allora:

 

la successione \{a_n\}_n è infinitesima, infatti:

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{log(n)}{n^3}\right)=0

 

è pure decrescente. Per verificarlo studiamo il segno della derivata prima della funzione f(x)=\frac{log(x)}{x^3}. Suggeriamo di leggere la lezione sulle successioni crescenti e decrescenti a chi fosse in difficoltà con lo studio della monotonia delle successioni.

 

f'(x)=\frac{\frac{1}{x}x^3 - log(x) 3x^2}{x^6} = \frac{x^2(1-3log(x))}{x^6}=\frac{1-3log(x)}{x^3}

 

f'(x) \geq 0 se e solo se \frac{1-3log(x)}{x^3} \geq 0 se e solo se 0\textless x \leq e^{\frac{1}{3}}.

 

Ne deduciamo che per x\geq e^{\frac{1}{3}}\sim 1,4 la funzione è decrescente (essendo la derivata prima negativa), da cui possiamo concludere che la successione \{a_n\}_n è decrescente per ogni n\geq 2 (valore di partenza della nostra serie).

 

Passiamo ora alla successione di termine generale b_n=\sin(n) e costruiamo la successione delle somme parziali \{s_n\}_n il cui termine n-esimo è dato da:

 

s_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k)

 

Vediamo un po' come si comporta la successione delle somme parziali appena scritta :) 

 

Trucchetto algebrico: moltiplichiamo membro a membro per 2\sin\left(\frac{1}{2}\right)

 

2\sin\left(\frac{1}{2}\right)s_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\right)

 

dove

 

\sum_{k=1}^{n}\left(\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\right)= \cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)

 

è una somma telescopica di cui conosciamo praticamente tutto, anche la sua somma. :)

Questo dimostra che:

 

2\sin\left(\frac{1}{2}\right)s_n=\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)

 

dividendo membro a membro per 2\sin\left(\frac{1}{2}\right) otterremo:

 

s_n= \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)}

 

Dalla limitatezza del coseno segue che |s_n|\le \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)+1}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)}

 

Abbiamo dimostrato che la successione delle somme parziali \left\{s_n\right\}_{n\,\textgreater\, 0} è limitata! Ci siamo: per il criterio di Abel Dirichlet la serie di partenza converge. Facile, no? Tongue

 


 

Per questa lezione è tutto! Nella prossima vedremo le operazioni di somma e differenza tra serie numeriche e trarremo importanti informazioni sullo studio del carattere di una serie numerica. Se avete dubbi o se volete vedere esempi ed esercizi svolti sulle serie, sappiate che ne abbiamo risolti a tonnellate: potete trovare tutto quello che vi serve con la nostra barra di ricerca...ed eventualmente aprire una discussione nel Forum. Wink

 

Alla prossima

Galois

 

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Utile?  

 


Tags: criterio di Abel Dirichlet per le serie numeriche - studio della convergenza delle serie con il criterio  di Abel Dirichlet.

 

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