Criterio di Leibniz

Parliamo del criterio di Leibniz che si utilizza per lo studio della convergenza delle serie di segno variabile (o a segno alterno), ovvero per le serie numeriche costituite da un numero infinito di termini positivi e da un numero infinito di termini negativi.

 

Tali serie, nella maggior parte dei casi si, presentano nella forma

 

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n con a_n \geq 0 per ogni n \in \mathbb{N}

 

Enunciato del criterio di Leibniz

 

Sia \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n una serie di segno variabile, con a_n \geq 0 per ogni n \in \mathbb{N}. Se valgono le seguenti ipotesi:

 

1) \{a_n\}_n è una successione infinitesima, ovvero esiste il \lim_{n\to +\infty}(a_n)=0;

 

2) \{a_n\}_n è definitivamente una successione non crescente, ossia esiste un indice n_0 tale per cui per ogni n\geq n_0 risulta che a_{n+1}\leq a_n;

 

allora il criterio di Leibniz stabilisce che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n converge.

 

Per chi fosse interessato alla dimostrazione: click!

 

 


 

 

Il criterio di Leibniz è uno fra i più immediati criteri esistenti per la convergenza delle serie numeriche a segno variabile, in quanto richiede solo la verifica delle condizioni 1) e 2). Se esse valgono possiamo affermare che la serie data converge senza fare nient'altro. Laughing

 

La verifica delle ipotesi è dunque di fondamentale importanza nella risoluzione degli esercizi, e vi anticipiamo sin da subito che la più impegnativa delle due è la condizione di non crescenza della successione \{a_n\}_n. Niente paura! Nella lezione del link vengono esposti i principali metodi per stabilire se una successione è decrescente o crescente.

 

Esempi di applicazione del criterio di Leibniz

 

Vediamo ora qualche esempio.

 

A) Determinare il carattere della serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n \frac{n-1}{n^2+n}.

 

Posto a_n=\frac{n-1}{n^2+n} si tratta di una serie a segni alterni in quanto a_n \geq 0 per ogni n\geq 2. Inoltre il modulo del termine generale è infinitesimo al tendere di n\to +\infty

 

\lim_{n\to +\infty}(a_n) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{n-1}{n^2+n}\right)=0

 

quindi vale la prima condizione del criterio di Leibniz. Per poter concludere che la serie converge, verifichiamo che la successione

 

\{a_n\}_n = \left\{\frac{n-1}{n^2+n}\right\}_n

 

sia decrescente. Scegliamo di verificarlo utilizzando la definizione, di conseguenza dobbiamo provare che a_{n+1} \leq a_n

 

a_{n+1}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)^2+(n+1)}=\frac{n}{n^2+3n+2}=\frac{n}{(n+1)(n+2)}

 

Osserviamo che a_{n+1} \leq a_n se e solo se risulta

 

\frac{n}{(n+1)(n+2)} \leq \frac{n-1}{n(n+1)}.

 

Con un semplice calcolo algebrico passiamo a

 

\frac{n^2-(n-1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)} \leq 0

 

da cui

 

\frac{-n+2}{n(n+1)(n+2)} \leq 0.

 

Dato che il denominatore è positivo per ogni indice, la disequazione si riduce a n\geq 2.

 

Poichè la nostra serie parte proprio da n=2 la successione in esame è decrescente, e quindi vale anche la condizione 2) del criterio di Leibniz.

 

Il criterio di Leibniz ci permette di concludere che la serie data converge.

 

Per ampliare l'esercizio supponiamo che sia richiesto anche lo studio della convergenza assoluta: scriviamo la serie dei moduli associata alla serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n \frac{n-1}{n^2+n}

 

che è data da:

 

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n-1}{n^2+n}

 

abbiamo infatti già visto che \frac{n-1}{n^2+n} è una quantità positiva per n\geq 2, per cui

 

\left|\frac{n-1}{n^2+n}\right|=\frac{n-1}{n^2+n}

 

e

 

|(-1)^n|=1.

 

Studiamone il carattere.

 

Al tendere di n\to +\infty vale l'equivalenza asintotica

 

\frac{n-1}{n^2+n} \sim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}

 

e per vederlo basta calcolare il limite

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\frac{n-1}{n^2+n}}{\frac{1}{n}}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n(n-1)}{n^2+n}\right)=1

 

e vedere che vale 1. Per il criterio del confronto asintotico le serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n-1}{n^2+n}\mbox{ , }\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n}

 

hanno lo stesso carattere, e poiché la serie \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n} diverge positivamente (vedi serie armonica) la serie dei moduli diverge e quindi la serie di partenza non converge assolutamente.

 

 

B) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie

 

\sum_{n=3}^{+\infty}(-1)^n \frac{\log(n)}{n}

 

Sappiamo che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice (l'abbiamo visto nella lezione sulla convergenza assoluta), dunque partiamo da lì. Scriviamo la serie dei moduli:

 

\sum_{n=3}^{+\infty}\left|(-1)^n \frac{\log(n)}{n}\right|\overbrace{=}^{(*)}\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{\log(n)}{n}

 

dove il passaggio (*) vale dal momento che

 

\left|(-1)^n \frac{\log(n)}{n}\right|=\left|(-1)^n\right| \left|\frac{\log(n)}{n}\right|=\frac{\log(n)}{n}

 

infatti \frac{\log(n)}{n} è una quantità maggiore di zero per n\geq 3.


Studiamo il carattere della serie dei valori assoluti: dato che per ogni n\geq 3 risulta \log(n) \textgreater 1, si ha che:


\frac{\log(n)}{n} \textgreater \frac{1}{n}

 

e poiché la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} diverge (vedi serie armonica) per il criterio del confronto la serie (dei moduli) \sum_{n=3}^{+\infty}\frac{\log(n)}{n} diverge e quindi la nostra serie di partenza non converge assolutamente. Ci è andata male... Tongue

 

Per il momento null'altro possiamo concludere sul suo carattere. Essendo una serie a segno alterno pensiamo subito all'utilizzo del Criterio di Leibniz. Vediamo se valgono le due ormai note condizioni.

 

\lim_{n\to +\infty}\left( \frac{\log(n)}{n} \right) = 0

 

[limite immediato] e la condizione 1) è soddisfatta. Rimane da verificare che la successione \{a_n\}_n = \left\{\frac{\log(n)}{n}\right\}_n è decrescente, e per farlo procediamo con lo studio del segno della derivata prima della funzione

 

f(x)=\frac{\log(x)}{x}

 

f'(x)=\frac{\frac{1}{x}x-\log(x)}{x^2}=\frac{1-\log(x)}{x^2}

 

f'(x) \leq 0 se e solo se 1-\log(x) \leq 0 se e solo se x\geq e \sim 2,78

 

Ovvero la successione \left\{\frac{\log(n)}{n}\right\}_n è decrescente per n\geq 3 (primo intero dopo e). Possiamo quindi concludere che per il criterio di Leibniz la serie data converge (semplicemente).

 

 


 

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Alla prossima

Galois

 

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