Serie assolutamente convergenti

In questa lezione parleremo della convergenza assoluta delle serie numeriche e daremo la definizione di serie assolutamente convergente. Molto spesso, mentre nello studio della convergenza semplice vista finora non si hanno grossi problemi, nel leggere "convergenza assoluta" si entra nel pallone, ma solo perché non si hanno ben chiari alcuni concetti. Tra poco vedremo tutto quello che serve sapere, lo commenteremo e come sempre chiuderemo con qualche esercizio svolto.

 

Convergenza assoluta e serie assolutamente convergenti

 

Prima di parlare di convergenza assoluta dobbiamo introdurre due nuovi concetti.

 


Serie a segno variabile


Una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n si dice a segno variabile se è formata da infiniti termini positivi e infiniti termini negativi. 

 

Serie a segni alterni

 

Se una serie si presenta nella forma 

 

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n b_n\mbox{ con }b_n>0\quad\forall n\in \mathbb{N} 

 

allora parleremo di serie a segni alterni.

 

Serie dei moduli

 

Si dice serie dei moduli associata alla serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|

 

i cui termini altro non sono se non i valori assoluti dei corrispondenti termini della serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n.


Prima osservazione: la serie dei moduli è sempre una serie a termini positivi (vedi la definizione di valore assoluto), come tale potrà solo convergere o divergere positivamente.


Tenendo bene a mente quanto appena scritto, siamo pronti per dare la definizione di convergenza assolutauna serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n si dice assolutamente convergente se la serie dei moduli ad essa associata \sum_{n=1}^{+\infty}|a_n| è convergente.

 

Come studiare la convergenza assoluta di una serie numerica


1) Si scrive la serie dei moduli \sum_{n=1}^{+\infty}|a_n| ad essa associata e si studia il carattere. Come?


2) Essendo la serie dei moduli una serie a termini positivi si possono utilizzare tutti i criteri visti per le serie a termini positivi;


2a) se la serie dei moduli converge allora la nostra serie di partenza convergerà assolutamente.

 

2b) Se la serie dei moduli diverge (positivamente), allora la serie di partenza \sum_{n=1}^{+\infty}a_n non convergerà assolutamente. Essa potrà allora divergere o convergere ed in tal caso si dirà che converge semplicemente.

 

Attenzione! L'errore che molto spesso si commette è il seguente: quando la serie dei moduli non converge e quindi come abbiamo visto non vi è convergenza assoluta, si conclude l'esercizio dicendo che la serie di partenza non converge. Questo è un gravissimo errore! Abbiamo appena detto che se non vi fosse convergenza assoluta non potremmo dire nulla sulla serie in esame, infatti essa potrebbe divergere ma anche convergere semplicemente, come mostra il seguente esempio.

 

Determiniamo il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left((-1)^n \frac{1}{n}\right)

 

La serie dei moduli ad essa associata è la serie armonica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} che sappiamo divergere positivamente, pertanto la serie di partenza non converge assolutamente, ma per il momento non possiamo dire null'altro.


Se siamo già a conoscenza del criterio di Leibniz (che vedremo nella prossima lezione) possiamo continuare con lo studio. Poiché

 

\lim_{n\to +\infty}a_n = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)=0

 

e \{a_n\}_n=\left\{\frac{1}{n}\right\}_n è una successione decrescente, per il criterio di Leibniz la nostra serie converge.


Abbiamo così un esempio di serie che non converge assolutamente ma che converge semplicemente, a testimonianza del fatto che la non convergenza assoluta non ci permette di dire altro sul carattere della serie in esame.

 

Criterio di convergenza assoluta

 

Se una serie converge assolutamente allora essa converge semplicemente. (Dimostrazione)

 

Abbiamo già visto col precedente esempio che non vale il viceversa, ovvero la convergenza semplice non implica la convergenza assoluta.

 

 


 

 

Seconda osservazione: se una serie è a termini positivi, allora la serie dei moduli coincide con la serie stessa. Di conseguenza lo studio della convergenza assoluta si ricondurrà al semplice studio del carattere della serie a termini positivi assegnata, che sappiamo più che bene come affrontare. Il problema della convergenza assoluta nasce quindi quando le serie sono a segno alterno.

 

Ricapitolando

 

1) Se una serie è a termini positivi, se converge essa convergerà assolutamente.

 

2) Se una serie è a segno variabile si costruirà la serie dei moduli (che è a termini positivi):

 

2a) se la serie dei moduli converge vi sarà convergenza assoluta e quindi semplice (e l'esercizio terminerà)

 

2b) se la serie dei moduli non converge possiamo dire solo che non vi è convergenza assoluta ed andare a studiare l'eventuale convergenza semplice col criterio di Leibniz.

 

Esempio sullo studio della convergenza assoluta di una serie

 

A) Studiare al variare del parametro x in \mathbb{R} la convergenza assoluta della serie:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{x^n}{n 2^n}\right)

 

Scriviamo la serie dei moduli ad essa associata:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \overbrace{=}^{(*)} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{|x|^n}{n 2^n}\right)

 

(*) il valore assoluto a denominatore non serve in quanto n 2^n \textgreater 0 per ogni n\geq 1. Studiamone il carattere col criterio del rapporto.

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{\frac{|x|^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}}{\frac{|x|^n}{n 2^n}}\right) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{|x| |x|^n}{2(n+1) 2^n } \frac{n 2^n}{|x|^n}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{2(n+1)}|x|\right)=\frac{|x|}{2}

 

Per il criterio del rapporto la serie 

 

 \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{|x|^n}{n 2^n}\right)

 

converge se il limite in esame è minore di 1, cioè se \frac{|x|}{2} \textless 1 ovvero se -2\textless x \textless 2. Attenzione! L'esercizio non è finito. Rimane da vedere che succede quando il limite in esame è 1, ovvero dobbiamo vedere che succede per \frac{|x|}{2}=1, ovvero per |x|=2 (caso in cui il criterio del rapporto è inconcludente).

 

La serie dei moduli diventa:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2^n}{n 2^n}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

 

che altro non è se non la serie armonica e come tale diverge positivamente. Possiamo dunque concludere che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{x^n}{n 2^n}\right) converge assolutamente per x \in (-2,2).

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Nella prossima lezione, come già accennato, vedremo il criterio di Leibniz utilissimo per lo studio della convergenza delle serie a segno alterno.

 

Alla prossima,

Galois

 

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