Criterio di Raabe

Dopo aver visto i principali criteri per lo studio del carattere di una serie numerica, in questa lezione presenteremo il criterio di Raabe. Non sorprendetevi se è la prima volta che lo sentite nominare.. questo criterio infatti molto raramente viene affrontato nel corsi di Analisi Matematica, ma avendovi promesso una preparazione completa sullo studio delle serie non potevamo non parlarne. ;)

 

Come vedremo fra poco non è niente di difficile o di proibito, e una lettura non può che farvi bene. Iniziamo come sempre con l'enunciato.

 

Criterio di Raabe per le serie numeriche

 

Sia \sum_{n=1}^{+\infty} a_n una serie a termini positivi. Supponiamo che esista il

 

\lim_{n\to +\infty} \left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)\right]=L

 

valgono le seguenti implicazioni:

 

- se L\textless 1 la serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n diverge (positivamente).


- se L\textgreater 1 la serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n converge.

 

- se L = 1 nulla possiamo dire sul carattere della serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n.

 

Tale criterio è poco conosciuto perché difficilmente capita che i criteri più immediati (criterio del confronto, criterio della radice e criterio del rapporto) falliscano tutti e tre insieme, ma come sappiamo nulla è impossibile e il criterio di Raabe ci fornisce quindi una strada alternativa in quei rari casi in cui non sappiamo che pesci prendere.

 

Esempio di applicazione del criterio di Raabe

 

Proviamo a usare dimostrare che la serie numerica \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) converge per \alpha \textgreater 1 e diverge positivamente per \alpha \textless 1, con \alpha numero reale.

 

La serie in esame è a termini positivi, infatti poichè n varia da 1 a +\infty allora \frac{1}{n^{\alpha}} \textgreater 0 indipendentemente da \alpha.

 

Osserviamo ora che per lo studio del suo carattere il criterio del confronto è inefficace in quanto siamo davanti alla serie armonica generalizzata che quindi non possiamo utilizzare.

 

Il criterio della radice e del rapporto non ci fanno concludere nulla. Infatti:

 

\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\alpha}}}\right)=1

 

e

 

\lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\frac{1}{(n+1)^{\alpha}}}{\frac{1}{n^{\alpha}}}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\alpha}=1

 

Proviamo dunque col criterio di Raabe.

 

\lim_{n\to +\infty} \left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)\right]= \lim_{n\to +\infty} \left[n\left(\frac{\frac{1}{n^{\alpha}}}{\frac{1}{(n+1)^{\alpha}}}-1\right)\right]= \\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty} \left[n\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\alpha}-1\right]=\lim_{n\to +\infty}\left[\frac{\left(\frac{1}{n}+1\right)^{\alpha}-1}{\frac{1}{n}}\right]\overbrace{=}^{(*)}\alpha

 

(*) vale perché \frac{1}{n} \to 0 per n \to +\infty e ricordando il limite notevole \lim_{x\to 0} \left(\frac{(1+x)^c-1}{x}\right)=c

 

Allora per il criterio di Raabe sappiamo che:

 

- se il risultato del limite è minore di 1, ovvero se \alpha \textless 1, la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) diverge positivamente.

 

- se il risultato del limite è maggiore di 1, ossia se \alpha \textgreater 1, la serie \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) converge.

 

L'esercizio è concluso! Laughing Notate ancora una volta che per \alpha=1 non possiamo dir nulla in quanto il criterio di Raabe è inconcludente.

 

 


 

Per questa lezione è davvero tutto! Per una preparazione completa sulle serie numeriche bisogna conoscere anche i criteri di rara applicazione, motivo per il quale vi invitiamo a non tralasciare la prossima lezione sul Criterio di Kummer. Wink Nel frattempo se volete leggere esercizi svolti e spiegazioni a domande di teoria usate la barra di ricerca: avete a disposizione decine di migliaia di esercizi! E se ancora non bastasse, potete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Alla prossima,

Galois

 

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