Criterio dell'integrale per le serie

Passiamo ad un criterio un po' più elaborato per lo studio del carattere delle serie: il criterio dell'integrale per le serie numeriche. Che cos'è? Un ulteriore test di convergenza che ci aiuterà in alcuni specifici casi. Cominciamo!

 

Criterio dell'integrale per le serie numeriche

 

Per innescare il criterio dell'integrale abbiamo necessariamente bisogno di alcune ipotesi. È necessario avere:

 

- una funzione f:[n_0,+\infty)\to\mathbb{R} con n_0\in\mathbb{N};

 

- una successione (a_n)_{n\ge n_0} i cui termini sono definiti dalla legge

 

a_n= f(n)\quad \forall n\ge n_0

 

Se la funzione f è positiva, decresce ed è infinitesima per x che tende a più infinito allora la serie \sum_{n=n_0}^{\infty}a_n converge se e solo se converge l'integrale \int_{n_0}^{\infty}f(x)dx.

 

Questo teorema mette in risalto una delle tante relazioni che intercorrono tra i due operatori di somma e di integrale. Tra l'altro nel forum trovate anche la dimostrazione: dateci un'occhiata, non è difficile.

 

In quali casi applicare il criterio dell'integrale

 

Il criterio dell'integrale viene in soccorso quando nel termine n-esimo della serie compaiono logaritmi e soprattutto logaritmi innestati, o ancora esponenziali e arcotangenti. Fondamentalmente vale la pena di usarlo quando si riconosce immediatamente (o quasi) il comportamento  dell'integrale associato. A tal proposito vi consigliamo di ripassare i criteri di convergenza per gli integrali impropri di prima specie, male certamente non fa, non credete? :)

 

Applicazioni notevoli del criterio dell'integrale

 

Il test dell'integrale ci permette di studiare agevolmente le serie armoniche generalizzate. Ad esempio

 

\sum_{n= 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

 

converge se e solo se p\textgreater 1 mentre diverge per p\le 1. L'integrale associato alla serie è

 

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}dx= \lim_{M\to \infty}\int_{1}^{M}\frac{1}{x^{p}}dx

 

Ora dobbiamo calcolare l'integrale improprio:

 

\int_{1}^{M}\frac{1}{x^{p}}dx=\begin{cases}\frac{M^{1-p}-1}{1-p}&\mbox{ se } p\ne 1\\\ln(M)&\mbox{ se }p= 1 \end{cases}

 

e facendo tendere M a più infinito arriviamo alla tesi.

 

Un'altra classe di serie numeriche notevoli che si presta bene al criterio è quella delle serie armoniche modificate con logaritmi

 

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln^{p}(n)}

 

L'integrale associato è:

 

\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x \ln^{p}(x)}dx

 

che converge se e solo se p\textgreater 1.

 

Esempio di applicazione del criterio dell'integrale

 

Vediamo come applicare il criterio dell'integrale nel caso di una serie non notevole. Vogliamo studiare il comportamento della serie:

 

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln(n)\ln^2(\ln(n))}

 

L'integrale associato è:

 

\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)\ln^2(\ln(x))}dx= \lim_{M\to \infty}\int_{2}^{M}\frac{1}{x\ln(x)\ln^2(\ln(x))}dx

 

Osserviamo che nel dominio di integrazione la funzione integranda è positiva, decrescente e infinitesima, dunque soddisfa le ipotesi del criterio. Il calcolo dell'integrale è abbastanza agevole, basta infatti procedere per sostituzione ponendo t= \ln(\ln(x))\implies dt= \frac{1}{x\ln(x)}dx. Arriviamo così a

 

\int_{2}^{M}\frac{1}{x\ln(x)\ln^2(\ln(x))}dx= \int_{\ln(\ln(2))}^{\ln(\ln(M))}\frac{1}{t^2}dt= \frac{1}{\ln(\ln(2))}-\frac{1}{\ln(\ln(M))} 

 

Quando M tende a più infinito otterremo il valore dell'integrale che è appunto \frac{1}{\ln(\ln(2))}. Poiché l'integrale converge, allora convergerà anche la serie di partenza.

 

 


 

 

È importante sottolineare che l'integrale associato non deve essere necessariamente calcolato, perché è sufficiente studiarne la convergenza.

 

Se avete bisogno di altri esempi o altri esercizi potete usare la barra di ricerca: troverete moltissimi svolgimenti succulenti...e se ancora non bastasse, potete aprire una discussione nel Forum! 

 

Un saluto festoso a tutti!

Ifrit

 

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