Criterio di condensazione

In questo articolo parleremo del criterio di condensazione di Cauchy a volte noto col nome di criterio di sostituzione, e vedremo che sarà molto utile nei casi in cui il criterio del rapporto e il criterio della radice non dovessero funzionare e non siamo in grado di fare un confronto efficace con le serie note.

 

Criterio di condensazione di Cauchy

 

Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie a termini positivi con \{a_n\}_n una successione decrescente. Allora le seguenti serie hanno lo stesso carattere:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\ \ \ ;\ \ \ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^na_{2^n}\right)

 

Come e quando usare il criterio di condensazione

 

Innanzitutto è da notare che la serie deve essere a termini positivi, come d'altra parte era richiesto nei precedenti criteri. Qui però figura una nuova ipotesi, ovvero che la successione del termine generale {a_n}_n sia una successione decrescente. Se doveste avere dubbi su come verificarlo, potete trovare il metodo nella lezione del precedente link. Wink

 

Se, dopo aver verificato le due ipotesi, si opta per l'utilizzo del criterio di condensazione, molto semplicemente basta prendere il termine generale a_n della serie che ci è stata assegnata e:

 

- sostituire 2n al posto di n;

- moltiplicare il tutto per 2n.

 

fatto ciò studieremo il carattere della serie \sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^na_{2^n}\right) (che rimarrà a termini positivi) con uno dei criteri noti.

 

Consiglio spassionato: provate a usare il criterio di condensazione solo quando i criteri più immediati (radice e rapporto) non ci portano a nulla e quando non riusciamo in alcun modo a "far funzionare" il criterio del confronto e del confronto asintotico. Questo perché spesso la sostituzione (nel termine generale della serie) di n con 2^n potrebbe complicare invece di migliorare le cose, e perché dobbiamo anche verificare che la successione {a_n}_n sia decrescente prima di poter applicare tale criterio.

 

Esempio sul criterio di condensazione

 

Determinare il carattere della serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{log(n)}{n^2}\right).

 

Indubbiamente è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza in quanto

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{log(n)}{n^2}\right)=0.

 

Inoltre la serie è a termini positivi, perché il termine generale presenta a denominatore un quadrato ed a numeratore il logaritmo di n, numero naturale maggiore di 2 e come tale è positivo.

 

Passiamo ora allo studio del carattere della serie. Vediamo che è presente un termine log(n) e osserviamo che per ogni n \geq 2\ \Rightarrow\ log(n) \leq n. Proviamo a vedere se funziona il criterio del confronto. Per quanto appena detto:

 

\frac{log(n)}{n} \leq \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}

 

Ma poiché \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n} diverge positivamente (vedi serie armonica) il criterio del confronto non ci permette di dir nulla.

 

Primo tentativo fallito. Vedendo un n^2 al denominatore proviamo ad utilizzare il criterio del rapporto. Calcoliamo quindi 

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\frac{log(n+1)}{(n+1)^2}}{\frac{log(n)}{n^2}}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left[\frac{log(n+1)}{log(n)}\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]=1

 

Quindi anche il criterio del rapporto non ci permette di concludere nulla sul carattere della serie e sarebbe inutile (anche se a nessuno verrebbe in mente) di andare a provare col criterio della radice. Questo perché, in caso di esistenza dal limite, i due criteri sono equivalenti. Non ci resta che provare col criterio di condensazione di Cauchy.

 

 

Per prima cosa dobbiamo controllare che la successione del termine generale\left\{\frac{log(n)}{n^2}\right\}_n sia decrescente. Come facciamo?


La verifica diretta mediante la disequazione a_{n+1} \textless a_{n} non è la scelta migliore (provare per credere!). In tal caso è più comodo studiare il segno della derivata prima della funzione:

 

f(x)=\frac{log(x)}{x^2}

 

f'(x)=\frac{1-2log(x)}{x^3}

 

studiandone il segno scopriamo che la derivata prima è negativa nell'intervallo [e^{\frac{1}{2}}, +\infty[. Di conseguenza, essendo e^{\frac{1}{2}}\sim 1,6, per x\geq 2 la funzione è decrescente e dunque tale sarà anche la successione del termine generale \left\{\frac{log(n)}{n^2}\right\}_n.


Siamo pronti per applicare il criterio di condensazione di Cauchy. Ricaviamoci il termine generale della serie equivalente


a_{2^n}=\frac{log(2^n)}{(2^n)^2} = \frac{nlog(2)}{2^{2n}}

 

e passiamo a studiare il carattere della serie:


\sum_{n=2}^{+\infty}\left(2^n a_{2^n}\right)=\sum_{n=2}^{+\infty}\left(2^n \frac{n log(2)}{2^{2n}}\right)=log(2)\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n}{2^n}\right)


Grazie al criterio di condensazione sappiamo che questa serie avrà lo stesso carattere della serie di partenza. Ovviamente \sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n}{2^n}\right) è a termini positivi e la presenza del 2^n ci induce a pensare allo studio del suo carattere utilizzando il criterio del rapporto o della radice. Optiamo per quest'ultimo.


\lim_{n\to +\infty} \left(\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{n}}{2}\right)=\frac{1}{2} \textless 1

 

Abbiamo finito: per il criterio della radice la serie \sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n}{2^n}\right) converge e per il criterio di condensazione di Cauchy convergerà anche la serie di partenza.

 

\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{log(n)}{n^2}\right)

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Non perdete la prossima lezione nella quale parleremo di un altro criterio per le serie a termini positivi: il criterio dell'integrale. In caso di dubbi, domande, richieste e perplessità potete usare la barra di ricerca e consultare gli esercizi che abbiamo risolto con il criterio di condensazione. Se poi doveste avere ulteriori dubbi c'è sempre il Forum.

 

Alla prossima,

Galois

 

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