Criterio della radice

Dopo aver visto, nella precedente lezione, il criterio del rapporto per serie numeriche, parleremo ora del criterio della radice. Dopo averlo enunciato trarremo un po' di utili conclusioni e vedremo qualche esempio.

 

Criterio della radice per serie

 

Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie a termini positivi. Supponiamo inoltre che esista il limite

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{a_n}\right)=L

 

Allora:

 

- se L\textgreater 1 la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge (positivamente);


- se L\textless 1 la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge;

 

- se L = 1 nulla si può dire sul carattere della serie.

 

Per la dimostrazione - click! A seguire qui sotto esempi e commenti.

 

 

Come di certo avrete già notato il criterio della radice è molto simile al criterio del rapporto, infatti entrambi ci permettono di determinare il carattere di una serie a segno costante calcolando un limite senza la necessità di alcun confronto con altre serie. Per questo motivo molti si ostinano ad utilizzarlo sempre e comunque. Fate attenzione però che, molto spesso accade di trovare:

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{a_n}\right)=1

 

In tal caso, come abbiamo già scritto nell'enunciato, non possiamo dire nulla sul carattere della serie che stiamo studiando. In questi casi il criterio della radice, come pure il criterio del rapporto, è completamente inutile, infatti in caso di esistenza del limite, il criterio del rapporto e quello della radice sono equivalenti. Per questo motivo se dovesse accadere che il limite in esame sia 1 ci rivolgeremo ai tanti altri criteri per le serie a termini positivi.

 

Quando utilizzare il criterio della radice

 

Qualche utile consiglio:

 

- non utilizzare il criterio della radice quando \lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{a_n}\right) diventa proibitivo. Inutile infatti incaponirsi e rischiare di cadere in errore. Meglio cambiare strada!

 

- Utilizzarlo quando nel termine generale a_n della serie è presente una potenza con l'indice all'esponente \alpha^{n}, con \alpha numero reale, o ancor meglio quando vi è la presenza del termine n^n.

 

Quando useremo il criterio della radice capiterà spesso di imbattersi in limiti del tipo

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)

 

e ancor più in generale

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{n^{\alpha}}\right)

 

Ricordate che tali limiti valgono 1.

 

Esempi sul criterio della radice

 

A) Determiniamo il carattere della serie:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^n}{(2n+1)^n}\right)

 

Si vede immediatamente che la serie è a termini positivi, e la presenza (sia a numeratore che a denominatore) dell'esponente n ci induce a pensare al criterio della radice. Posto a_n = \frac{n^n}{(2n+1)^n} calcoliamo il limite


\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{a_n}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left[\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}\right] = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}


Poiché il risultato è minore di 1, la serie converge per il criterio della radice.

 

B) Consideriamo la seguente serie, e studiamone la convergenza:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left[6^n\left(\frac{n-3}{n}\right)^{n^2}\right]

 

Sul fatto che la serie sia a termini positivi non ci sono dubbi. Proponiamoci di studiarne il carattere col criterio della radice e calcoliamo

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{a_n}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left[\sqrt[n]{6^n\left(\frac{n-3}{n}\right)^{n^2}}\right] = \lim_{n\to +\infty} \left[6\left(\frac{n-3}{n}\right)^n\right]

 

Ora:

 

6\left(\frac{n-3}{n}\right)^n=6\left(1+\frac{-3}{n}\right)^n=6\left(1+\frac{1}{-\frac{1}{3}n}\right)^n= \\ \\ = 6\left[\left(1+\frac{1}{-\frac{1}{3}n}\right)^{-\frac{1}{3}n}\right]^{-3}

 

Perché abbiam fatto tutto questo? Perché ricordando il limite notevole

 

\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e 

 

otteniamo

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{a_n}\right)=\dots =\lim_{n\to +\infty} \left[6\left(\frac{n-3}{n}\right)^n\right]= \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}\left[6\left[\left(1+\frac{1}{-\frac{1}{3}n}\right)^{-\frac{1}{3}n}\right]^{-3}\right] = 6e^{-3} \sim 0,29

 

Essendo una quantità minore di uno, per il criterio della radice la serie di partenza converge.

 

 


 

Per questa lezione è tutto. Nella prossima lezione vedremo un altro criterio per le serie a termini positivi conosciuto col nome di criterio di condensazione di Cauchy o criterio di sostituzione. Nel frattempo potete trovare tantissimi esercizi interamente risolti, e li potete trovare con la barra di ricerca! Wink

 

Alla prossima

Galois

 

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