Criterio del rapporto

In questa lezione vedremo il criterio del rapporto per serie numeriche, a volte conosciuto col nome di criterio di D'Alembert, che è uno dei criteri più usati (spesso erroneamente) dagli studenti alle prime armi con le serie numeriche.

 

Iniziamo col vederne l'enunciato.

 

Criterio del rapporto

 

Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie numerica a termini positivi tale che a_n \neq 0. Supponiamo che esista il limite

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=L

 

Allora:

 

- se L \textgreater 1, segue che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge (positivamente);

 

- se L \textless 1, la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge;

 

- se L=1 il criterio del rapporto è inconcludente nello studio del carattere della serie.

 

Questo è tutto! Si tratta di uno dei criteri più comuni proprio per la sua apparente semplicità e soprattutto per il fatto che non richiede il confronto con nessun'altra serie numerica. Spesso però si cade in errore! Vediamo quando

 

 

Errore frequente

 

Supposto che la nostra serie da studiare sia a termini positivi e che il limite sia tale che

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)

 

spesso accade che tale limite sia uguale ad 1. In questo caso il criterio del rapporto non ci dà nessuna informazione sul carattere della serie. Notate infatti che nell'enunciato il valore 1 come risultato del limite non è assolutamente contemplato! Laughing

 

Come e quando utilizzare il criterio del rapporto

 

L'utilizzo del criterio del rapporto è estremamente semplice. Data una serie numerica \sum_{n=1}^{+\infty}a_n, dopo aver verificato che essa sia (definitivamente) a termini positivi, se si sceglie di usare il suddetto criterio si procede in questo modo:

 

- si calcola l'espressione del termine a_{n+1} andando a sostituire n+1 al posto di n nel termine generale a_n della serie;

 

- si calcola il limite del rapporto e in base al risultato si traggono le dovute conclusioni.

 

Quando utilizzare il criterio del rapporto? Non si può essere molto precisi, possiamo però darvi alcuni preziosi consigli:

 

- non utilizzarlo quando il limite \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) diventa proibitivo. Se i calcoli si complicano eccessivamente cambiate strada. Ricordate che abbiamo tantissimi altri criteri a cui poterci appellare!

 

- Non trarre alcuna conclusione se dovesse risultare \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=1 ed evitate di usare il criterio della radice! Infatti nel caso in cui il limite esista il criterio del rapporto e della radice sono del tutto equivalenti, dunque se fallisce l'uno fallirà anche l'altro! (Parleremo del criterio della radice nella prossima lezione).

 

- Utilizzarlo quando nel termine generale a_n della serie compare un n! (o comunque un termine fattoriale). Infatti nel momento in cui si calcola il termine a_{n+1} il termine n! diventerà un (n+1)!, e dunque ricordando che

 

(n+1)! = \overbrace{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n}^{=n!}\cdot (n+1)=n!(n+1)

 

e dovendo calcolare \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right), i due n! per incanto si elideranno a vicenda. Fra poco apprezzeremo meglio quest'aspetto con un esempio.


- Utilizzarlo quando nel termine generale a_n della serie compare una potenza con indice all'esponente \alpha^{n}, con \alpha numero reale. Anche in questo caso, infatti, nel momento in cui dovremo calcolare il termine a_{n+1} il termine \alpha^{n} diventerà un \alpha^{n+1}. Evidentemente risulta

 

\alpha^{n+1}=\alpha^{n} \alpha

 

e dovendo calcolare \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) i due \alpha^{n} si semplificheranno.

 

Esempi sul criterio del rapporto per le serie

 

A) Determinare il carattere della serie:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^2+1}{3^n}\right)

 

Posto a_n=\frac{n^2+1}{3^n} si vede subito che la serie proposta è a termini positivi. Infatti a numeratore abbiamo una somma di quadrati e a denominatore un'esponenziale che, come tali, sono positive. La presenza del termine 3^n ci suggerisce di pensare al criterio del rapporto. Proviamo a utilizzarlo!

 

Calcoliamo innanzitutto a_{n+1}

 

a_{n+1}=\frac{(n+1)^2+1}{3^{n+1}}=\frac{n^2+2n+2}{3\cdot 3^n}

 

Passiamo ora al calcolo del limite:

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\frac{n^2+2n+2}{3\cdot 3^n}}{\frac{n^2+1}{3^n}}\right)= \\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{n^2+2n+2}{3\cdot 3^n}\right)\left(\frac{3^n}{n^2+1}\right)\right]=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n^2+2n+2}{3n^2+3}\right)=\frac{1}{3} \textless 1

 

Pertanto per il criterio del rapporto la serie converge!

 

B) Supponiamo di voler stabilire se la seguente serie converge o diverge

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{7^n}{n!}\right)

 

Essendo il termine generale della serie a_n=\frac{7^n}{n!}, si vede subito che la serie data è a termini positivi. Anche in questo caso la presenza del termine n! ci induce a ricorrere al criterio del rapporto.

 

Calcoliamo innanzitutto a_{n+1}

 

a_{n+1}=\frac{7^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{7\cdot 7^n}{(n+1)n!}

 

dopodiché calcoliamo il limite imposto dal criterio

 

\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\frac{7\cdot 7^n}{(n+1)n!}}{\frac{7^n}{n!}}\right)= \\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{7\cdot 7^n}{(n+1)n!}\right)\left(\frac{n!}{7^n}\right)\right]=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{7}{n+1}\right)=0 \textless 1

 

e concludiamo che per il criterio del rapporto la nostra serie converge!

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Nella prossima vedremo un altro semplice criterio, detto della radice. Nel frattempo per eventuali dubbi e se volete vedere altri esempi e vagonate di esercizi risolti, usate la barra di ricerca. Troverete tutto quello che vi serve! Laughing

 

Alla prossima

Galois

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: criterio del rapporto per lo studio della convergenza e della divergenza delle serie numeriche - come usare il criterio del rapporto - quando usare il criterio del rapporto.