Criterio di Kummer

Tra i vari criteri di convergenza per le serie a termini positivi ce ne sono alcuni noti, e li abbiamo visti nelle precedenti lezioni, e altri molto meno conosciuti tra cui il criterio di Kummer.

 

Mettiamo subito le carte in tavola: non è un criterio classico, anzi è utilizzato pochissimo negli esercizi standard e non ci meravigliamo se questa fosse la prima volta che leggete il nome "Kummer". D'altra parte la fortuna e cieca, ma la sfiga vede benissimo, quindi...bando alle ciance e riportiamo subito l'enunciato del criterio.

 

Criterio di Kummer

 

Consideriamo una serie \sum_{n=0}^{\infty}a_n tale che a_n\,\textgreater 0 per ogni n\in\mathbb{N} e una successione ausiliaria (b_k)_{k\in\mathbb{N}} di numeri positivi. Sia

 

\lambda= \lim_{k\to \infty}\left(b_k \frac{a_k}{a_{k+1}}-b_{k+1}\right)\quad(\heartsuit)

 

Se il precedente limite è maggiore di zero, i.e. \lambda\,\textgreater 0, allora la serie \sum_{n=0}^{\infty}a_n è convergente.

 

Se invece il limite è minore di zero, \lambda\,\textless 0, e la serie \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{b_n} diverge positivamente, allora la serie \sum_{n=0}^{\infty}a_n diverge positivamente.

 

Se invece il limite è uguale a zero, \lambda= 0, allora il test è inconclusivo e il criterio di Kummer non ci dice nulla in merito al carattere della serie.

 

 


 

 

Il criterio di Kummer racchiude in sé moltissimi altri criteri di convergenza. Se ad esempio prendiamo la successione costante b_n= 1 ritroviamo il criterio del rapporto, se invece b_n= n otteniamo il criterio di Raabe!

 

Esempio di applicazione del criterio di Kummer

 

Vediamo come applicare questo metodo su una delle serie notevoli, la serie armonica modificata

 

\sum_{n= 2}^{\infty}\frac{1}{n \ln^{2}(n)}

 

Come successione ausiliaria prendiamo b_n= n\ln(n). Non ci rimane altro che impostare il limite

 

\lim_{n\to\infty}b_n \frac{a_n}{a_{n+1}}- b_{n+1}= \lim_{n\to \infty}n\ln(n)\cdot\frac{\frac{1}{n\ln^{2}(n)}}{\frac{1}{(n+1)\ln^{2}(n+1)}}-(n+1)\ln(n+1)

 

Semplificando otteniamo

 

 \lim_{n\to \infty}\frac{(1+n)\ln(1+n) (\ln(n+1)-\ln(n))}{\ln(n)}=1\,\textgreater\,0

 

pertanto la serie di partenza converge.  

 

Perché il criterio è poco noto? Come abbiamo detto in precedenza, questo non è un vero e proprio criterio di convergenza, ma piuttosto una "famiglia di criteri". Al variare della successione ausiliaria infatti otterremo diversi test tramite i quali potremo studiare la convergenza o la divergenza d'una particolare serie. Per chi è alle prime armi ed ha poca esperienza è preferibile studiare questo metodo in un secondo momento perché la "possibilità" di scegliere la successione ausiliaria può portare a  confunsione ed in generale il limite (\heartsuit) che ne scaturisce potrebbe essere di difficile risoluzione.

 

A quale tipo di serie applicare questo criterio? Praticamente funziona per tutte le serie positive che troviamo in un corso di Analisi 1 purché si scelga opportunamente la successione (b_n)_{n\in\mathbb{N}}. Se nella serie compaiono fattoriali prenderemo come successione ausiliaria b_n=1, se compaiono invece potenze può essere utile prendere b_n= n, ed infine se compaiono logaritmi allora una buona scelta può essere b_n= n\ln(n)

 

 


 

That's all folks! A voi la palla, potete esercitarvi con gli esercizi che trovate su YM!  :) Spremete la barra di ricerca e spulciate le discussioni, vi aiuterà tremendamente nello studio e nella risoluzione degli esercizi!

 

See ya!

Ifrit

 

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