Criterio del confronto asintotico per serie

Introduciamo un altro criterio per lo studio delle serie a termini positivi, il criterio del confronto asintotico, e vediamone una particolare caratterizzazione che molti docenti presentano col nome di criterio dell'ordine di infinitesimo. Essi ci permetteranno di determinare il carattere di alcune serie all'apparenza "mostruose", e l'unico prerequisito richiesto per l'applicazione di tale criterio consiste nella conoscenza delle principali serie notevoli.

 

Criterio del confronto asintotico per serie numeriche

 

Partiamo dall'enunciato: siano \sum_{n=1}^{+\infty} a_n e \sum_{n=1}^{+\infty} b_n due serie a termini positivi, con b_n \neq 0 per ogni n\in \mathbb{N}. Supponiamo inoltre che esista il 

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) e sia uguale ad L

 

Valgono le seguenti implicazioni:

 

1) se L \in (0,+\infty) allora le serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n e \sum_{n=1}^{+\infty} b_n hanno lo stesso carattere;


2) se L=0 e se la serie \sum_{n=1}^{+\infty} b_n converge allora la serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n converge;


3) se L=+\infty e se la serie \sum_{n=1}^{+\infty} b_n diverge allora la serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n diverge.

 

 

Alcuni docenti danno per lo stesso criterio il seguente enunciato (che è solo un caso particolare di quello appena visto): siano \sum_{n=1}^{+\infty} a_n e \sum_{n=1}^{+\infty} b_n due serie a termini positivi, con b_n \neq 0 per ogni n\in \mathbb{N}Se risulta

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right)=1

 

(per indicare tale ipotesi si suole scrivere a_n \sim_{n\to +\infty} b_nallora le due serie hanno lo stesso carattere.

 

Come usare il criterio del confronto asintotico per serie

 

Prima di procedere oltre, richiamiamo la vostra attenzione sul fatto che le due serie devono essere a termini positivi, quindi in un esercizio la prima cosa da fare sarà verificare se tale ipotesi è soddisfatta o meno.

 

Il problema di fondo dell'applicazione del criterio del confronto asintotico è che negli esercizi ci viene assegnata una sola serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n, di cui dobbiamo studiarne il carattere. Starà a noi andare a scegliere e costruire la serie che realizza il confronto asintotico \sum_{n=1}^{+\infty}b_n, e ovviamente dovrà essere una serie di cui è già noto il carattere altrimenti i nostri sforzi saranno vani.


Ora vediamo come applicare il criterio passo dopo passo. Immaginiamo di avere una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n a termini positivi, e procediamo come segue: scriviamo il termine generale della serie a_n, e guardiamolo dritto nelle palle degli occhi. Laughing


1) Se il termine generale a_n della serie si presenta sotto forma di rapporto eliminiamo sia dal numeratore che dal denominatore gli infiniti di ordine inferiore, se ve ne sono. Limitiamoci cioè a considerare solamente gli infiniti di ordine superiore. In questo modo si dovrebbe costruire in automatico il termine generale b_n della seconda successione \sum_{n=1}^{+\infty}b_n da confrontare con la prima.

 

2) Se il termine generale a_n della serie non si presenta sotto forma di un rapporto, guardiamo il limite e ricordando i limiti notevoli cerchiamo di trovare un termine b_n, tale che risulti

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right)=L \textgreater 0

 

 

Esempi sul criterio del confronto asintotico per serie

 

A) Studiamo il carattere della serie

 

\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^2+5}{n^4+3n^3-6n+2}

 

Lasciamo a voi l'immediata verifica del fatto che la serie è a termini positivi e del fatto che è verificata la condizione necessaria di convergenza. La serie considerata potrebbe convergere o divergere positivamente, e ci proponiamo di vedere cosa accade utilizzando il criterio del confronto asintotico. Scriviamo dunque il termine generale della serie, e osserviamolo:

 

a_n=\frac{n^2+5}{n^4+3n^3-6n+2}

 

Il termine generale a_n si presenta sotto forma di un rapporto. Trascuriamo gli infiniti di ordine inferiore sia  a numeratore che a denominatore

 

(n^2+5) \sim_{n\to +\infty} n^2

 

(n^4+3n^3-6n+2) \sim_{n\to +\infty} n^4

 

e quindi

 

\left(\frac{n^2+5}{n^4+3n^3-6n+2}\right) \sim_{n\to +\infty} \left(\frac{n^2}{n^4}\right)=\frac{1}{n^2}

 

ed ecco come si è costruito in automatico il termine generale b_n=\frac{1}{n^2} della serie da confrontare con la serie data. Se non ci credete, provate a calcolare \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right): vedrete che è uguale ad uno, ovvero a_n \sim_{n\to +\infty} b_nPer il criterio del confronto asintotico le due serie hanno lo stesso carattere.

 

Poichè \sum_{n=1}^{+\infty}b_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} converge (vedi serie armonica generalizzata), anche la nostra serie di partenza convergerà.

 

 

B) Stabilire qual è il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)

 

Anche in questo caso la serie è a termini positivi, e soddisfa la condizione necessaria di convergenza (a voi l'onere della prova), per cui potrebbe convergere o divergere positivamente. Come al solito, guardiamo in faccia il termine generale della serie:

 

a_n = e^{\frac{1}{n}}-1

 

Esso non si presenta sotto forma di un rapporto, però ci ricorda molto il limite notevole dell'esponenziale:

 

\lim_{x\to 0} \left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1

 

e dato che per n\to +\infty il termine \frac{1}{n} tende a zero, abbiamo

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}\right)=1,

 

ovvero

 

a_n=\left(e^{\frac{1}{n}-1}\right) \sim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right) = b_n.

 

Il criterio del confronto asintotico per serie ci permette di concludere che le serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)\mbox{ , }\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

 

hanno lo stesso carattere. Poiché \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} diverge positivamente (vedi serie armonica) anche la serie di partenza divergerà positivamente.

 

Criterio dell'ordine di infinitesimo per le serie

 

Come promesso all'inizio vediamo ora il criterio dell'ordine di infinitesimo, che altro non è se un caso particolarissimo del precedente. Ecco l'enunciato: sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie a termini positivi.

 

1) Se esiste \alpha \textgreater 1 tale che \{a_n\}_n è infinitesima di ordine \alpha, cioè esiste \lim_{n\to +\infty} (n^{\alpha} a_n) = L \textgreater 0, oppure \{a_n\}_n è infinitesima di ordine maggiore di \alpha, ossia esiste \lim_{n\to +\infty} (n^{\alpha} a_n) = 0allora la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge.

 

2) Se esiste \alpha \leq 1 tale che \{a_n\}_n è infinitesima di ordine \alpha, ovvero esiste \lim_{n\to +\infty} (n^{\alpha} a_n) = L \textgreater 0 oppure \{a_n\}_n è infinitesima di ordine minore di \alpha, ovvero esiste \lim_{n\to +\infty} (n^{\alpha} a_n) = +\infty, allora la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge (positivamente).

 

 

Esempio

 

Riprendiamo l'esempio A) e consideriamo la serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{n^2+5}{n^4+3n^3-6n+2}\right)

 

Abbiamo già visto che si tratta di una serie a termini positivi. Dato che

 

\lim_{n\to +\infty} \left(\overbrace{n^2}^{n^{\alpha}} \frac{n^2+5}{n^4+3n^3-6n+2}\right) = 1

 

ed \alpha=2 \textgreater 1, per il criterio dell'ordine di infinitesimo la serie converge.

 

 


 

 

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Alla prossima

Galois

 

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