Criterio del confronto per serie

In questa lezione vedremo il criterio del confronto per le serie, a volte conosciuto col nome di criterio di Gauss per le serie numeriche. Non perdiamoci in chiacchere: vediamo subito cosa dice per poi commentarlo abbondantemente e darvi qualche dritta sul suo utilizzo.

 

Criterio del confronto per le serie numeriche

 

Siano \sum_{n=1}^{+\infty}a_n e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n due serie a termini (definitivamente) positivi. Se a_n \leq b_n vale definitivamente, possiamo dire che:

 

- se \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge (positivamente) allora \sum_{n=1}^{+\infty}b_n diverge (positivamente);

 

- se \sum_{n=1}^{+\infty}b_n converge allora \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge.

 

 

Cominciamo con alcune importanti osservazioni.

 

1) a_n \leq b_n definitivamente vuol dire che tale disuguaglianza non deve valere necessariamente per ogni n\in \mathbb{N}, ma deve valere da un certo indice in poi. Sentirete molto spesso quando si parla di serie la parola "definitivamente". La corretta "traduzione" di questa parola è: "da un certo punto in poi". 

 

2) In "diverge positivamente" la parola "positivamente" è messa fra parentesi e in alcuni libri di testo è addiruttura omessa. Questo perché essendo per ipotesi le serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n e \sum_{n=1}^{+\infty}b_n a termini positivi, come tali se dovessero divergere, necessariamente divergeranno positivamente. Laughing

 

3) Se in un esercizio dovessimo trovarci di fronte ad una serie a termini negativi cosa facciamo?

 

Abbiamo già visto nella lezione sulle serie di segno costante come trasformare una serie a termini negativi in una a termini positivi, eventualmente potete darci un'occhiata se non sapeste come fare. Fatto ciò possiamo tranquillamente utilizzare il criterio del confronto.

 

4) L'enunciato del criterio del confronto ha al suo interno due serie, mentre negli esercizi avremo sempre da studiare il carattere di una sola serie.

 

Sembrerebbe quindi inutilizzabile da un punto di vista pratico...Non è così! Tale criterio è uno fra i più usati. Basta conoscere un po' di serie dal comportamento noto, e di sicuro tra queste troviamo: la serie geometrica, la serie armonica e la serie armonica generalizzata.

 

5) Invece di fornirvi la dimostrazione del criterio (che trovate ben fatta su un qualsiasi libro di testo) vogliamo suggerirvi un trucchetto per ricordarlo. Molti infatti spesso una volta giunti al punto a_n \leq b_n si hanno difficoltà nel ricordare le due implicazioni del criterio del confronto, e impararle a memoria serve a poco sia perché la memoria a volte può farci brutti scherzi, sia perché col tempo le cose si dimenticano.

 

Cosa significa l'ipotesi a_n \leq b_n ? Che la "quantità" a_n è più piccola della "quantità" b_n o equivalentemente che la "quantità" b_n è più grande della "quantità" a_n. Dunque se la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n esplode (cioè diverge positivamente) allora necessariamente dovrà divergere positivamente anche la serie \sum_{n=1}^{+\infty}b_n perché a parità di indice la "quantità" b_n è più grande della "quantità" a_n. L'altra implicazione di può ricavare in modo del tutto analogo.

 

Esempi sul criterio del confronto per serie numeriche

 

A) Proviamo a determinare il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+5n+3}

 

Verifichiamo innanzitutto che sia soddisfatta la condizione necessaria di convergenza. Poiché

 

\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^2+5n+3}=0

 

essa è soddisfatta e quindi non possiamo dir nulla sul carattere della serie.

 

Si vede facilmente che la serie è a termini positivi infatti a numeratore abbiamo un 1 che è di sicuro maggiore di zero e a denominatore abbiamo un quadrato n^2 a cui è aggiunta una quantità positiva (5n+3) (n va da 1 a +\infty). 

 

Ora procediamo con il criterio del confronto e consideriamo la maggiorazione

 

n^2+5n+3 \textgreater n^2

 

certamente valida perché a primo membro a n^2 si aggiunge la quantità positiva (5n+3) e quindi il tutto sarà sicuramente maggiore del solo n^2.

 

Passando ai reciproci ne ricaviamo

 

\frac{1}{n^2+5n+3} \textless \frac{1}{n^2}

 

e prendendo

 

a_n = \frac{1}{n^2+5n+3}\mbox{ , }b_n = \frac{1}{n^2}

 

ci siamo ricondotti nelle ipotesi del criterio del confronto: a_n \textless b_n.

 

Dato che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}b_n = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} è convergente, per il criterio del confronto la serie di partenza converge.

 

 

Errori che capita di commettere


1) Non verificare che la serie data è a termini positivi. Ricordate infatti che il criterio del confronto è applicabile a patto che la serie sia a termini positivi.

 

2) Nell'osservare il termine generale

 

a_n:=\frac{1}{n^2+5n+3}

 

potremmo giustamente dire che

 

n^2+5n+3 \textgreater n

 

e quindi

 

\frac{1}{n^2+5n+3} \textless \frac{1}{n}.

 

Posto b_n=\frac{1}{n} avremmo anche in questo caso a_n \textless b_n, con \sum_{n=1}^{+\infty}b_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} serie numerica divergente positivamente (vedi serie armonica). In questo caso dire che per il criterio del confronto la serie di partenza diverge positivamente sarebbe un gravissimo errore! Infatti sapendo che a_n \leq b_n il criterio ci dice che se \sum_{n=1}^{+\infty}b_n converge allora \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge, ma non ci direbbe nulla se la serie \sum_{n=1}^{+\infty}b_n dovesse divergere.

 

Attenzione dunque alle due implicazioni fornite da tale criterio!

 

 


 

 

B) Stabilire il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin^2(n)+1}{3^n+n}

 

Lasciamo a voi la verifica della condizione necessaria di convergenza e del fatto che la serie data è a termini positivi, e andiamo dritti al sodo. Osseviamo che, essendo la funzione seno una funzione limitata e in particolare -1\leq \sin(n) \leq 1, a numeratore risulta:

 

\sin^2(n)+1 \leq 1+1 = 2

 

Mentre a denominatore, ovviamente:

 

3^n+n \geq 3^n

 

Ne ricaviamo

 

a_n:=\frac{\sin^2(n)+1}{3^n+n} \leq \frac{2}{3^n} = 2\left(\frac{1}{3}\right)^n := b_n

 

per cui abbiamo trovato una serie maggiorante: a_n \leq b_n, con

 

\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=2\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n.

 

Quest'ultima è una serie geometrica di ragione \frac{1}{3} e come tale converge. Il criterio del confronto garantisce che la serie di partenza converge.

 

 


 

 

Sarebbe bello poter chiudere la lezione elencandovi tutti e soli i casi in cui è utilizzabile il criterio del confronto. Ciò però non è possibile per il semplice fatto che per studiare il carattere di una serie esistono svariati criteri e spesso capita che per la stessa serie vadano bene più criteri. Inoltre, come abbiamo visto in concreto nell'esempio A), occorre scegliere la serie giusta con la quale confrontare la serie di partenza. 

 

Possiamo solamente dirvi che il criterio del confronto serve molto, e che ci vuole un po' di esercizio per allenare l'occhio e vedere eventuali maggiorazioni e/o minorazioni.

 

Gli ultimissimi consigli:

 

- conoscere bene le serie di cui è noto il comportamento;

 

- ricordare che se in generale \alpha \geq \beta allora \frac{1}{\alpha}\leq \frac{1}{\beta} e viceversa;

 

- ricordare quali tra le funzioni elementari sono funzioni limitate.

 

Nella prossima lezione vedremo il criterio del confronto asintotico, e nel frattempo per eventuali dubbi o domande le migliai e migliaia di problemi risolti su YM sono a vostra disposizione. Usate la barra di ricerca, ed eventualmente aprite una discussione nel Forum.

 

Alla prossima,

Galois

 

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