Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Trovandoci di fronte ad una serie numerica di cui dobbiamo studiarne il carattere la prima cosa da fare (tranne in alcuni casi proibitivi) è quella di controllare che sia verificata la condizione necessaria per la convergenza, spesso nota col nome di condizione necessaria di Cauchy che fra poco vedremo.

 

È importante tenerla sempre ben presente perché se tale condizione non dovesse essere soddisfatta in certi casi è inutile andare ad applicare ulteriori criteri spendendo tempo ed energie che possiamo tranquillamente risparmiare. ;)

 

Condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie

 

Partiamo subito dall'enunciato: sia \{a_n\}_n una successione di numeri reali e \sum_{n=1}^{+\infty}a_n la serie numerica ad essa associata. Se \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge, allora il limite della successione del termine generale vale zero: \lim_{n\to +\infty}a_n =0.

 

In modo del tutto equivalente: condizione necessaria affinché la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converga è che la successione del termine generale \{a_n\}_n sia infinitesima, ovvero \lim_{n\to +\infty} a_n =0.

 

-\infty< \sum_{n=1}^{+\infty}a_n<+\infty \rightarrow \lim_{n\to +\infty}{a_n}=0

 

L'errore che uno studente alle prime armi commette è quello di invertire tale risultato e affermare che se il limite della successione del termine generale è nullo, cioè \lim_{n\to +\infty}a_n=0, allora la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge.

 

Questo, lo ripetiamo, è un gravissimo errore, infatti la condizione sopra enunciata è solo necessaria! Per capirci meglio se \lim_{n\to +\infty}a_n=0 non possiamo dir nulla sul carattere della serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n, cioè essa potrebbe essere convergente, divergente o irregolare.


Per convincervi di ciò consideriamo le serie \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n} (serie armonica) e la serie \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2} (serie armonica generalizzata). In entrambi i casi il termine generale a_n è infinitesimo, infatti:

 

\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n} = \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0

 

ma la prima di tali serie (serie armonica) diverge positivamente, mentre la seconda (serie armonica generalizzata) converge. Ripetiamolo fino alla nausea: nel caso in cui il termine generale della serie a_n sia infinitesimo, non possiamo dire nulla sul carattere della serie!

 

Se ti interessa capire come usare la condizione negli esercizi, continua a leggere; se invece vuoi vedere la dimostrazione della condizione necessaria di convergenza, clicca il link. 

 

Come usare la condizione necessaria di convergenza per le serie

 

Sembrerebbe quindi che tale risultato sia inutile ai fini di un esercizio. Non è così! Esso trova infatti vasto impiego al negativo. In che senso? Se abbiamo una serie \sum_{n=0}^{+\infty}a_n il cui termine generale non è infinitesimo, ovvero se 

 

\lim_{n\to +\infty}a_n \neq 0

 

allora la serie non converge!

 

Nella pratica, trovandoci di fronte ad una serie numerica \sum_{n=1}^{+\infty}a_n di cui dobbiamo studiarne il carattere (salvo rarissimi casi in cui il calcolo del limite è proibitivo) la prima cosa da fare sarà calcolare il limite

 

\lim_{n\to +\infty}a_n

 

e fare un'analisi preliminare: se tale limite è uguale a zero, nulla possiamo dire sul carattere della serie; se tale limite è diverso da zero, possiamo affermare che la serie non converge.

 

Attenzione all'errore successivo che si commette molto spesso: consiste, una volta scoperto che il limite è diverso da zero, nell'affermare che la serie diverge. Non abbiamo detto questo! Se il limite è diverso da zero possiamo dire che la serie non converge e quindi di conseguenza potrebbe essere divergente o irregolare e starà a noi andarlo a vedere.

 

Come usare la condizione necessaria di convergenza per le serie a segno costante

 

Le cose cambiano di gran lunga se ci troviamo di fronte ad una serie a segno costante, per cui è fondamentale saperle riconoscere (di questo ce ne occupiamo nella lezione del link).

 

Se siamo di fronte ad una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n a termini (definitivamente) positivi e il limite del termine generale non vale zero, cioè \lim_{n\to +\infty}a_n \neq 0, allora possiamo affermare che la serie diverge positivamente.


Analogamente, se siamo di fronte ad una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n a termini (definitivamente) negativi e il \lim_{n\to +\infty}a_n \neq 0 allora possiamo affermare che la serie diverge negativamente.

 

Perché? Perché nella precedente lezione abbiamo visto che una serie a termini (definitivamente) positivi non può essere irregolare, cioè può solo convergere o divergere positivamente. Quindi se non dovesse essere soddisfatta la condizione necessaria di convergenza essa non può convergere e l'unica alternativa possibile è che essa sia divergente positivamente. Laughing

 

Discorso analogo per le serie a termini (definitivamente) negativi.

 

Esempi sull'uso della condizione necessaria di convergenza per le serie a segno costante

 

Vediamo ora qualche esempio di utilizzo della condizione di Cauchy.

 

A) Determinare il carattere della serie

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+1}{n+3}

 

Posto a_n = \frac{n+1}{n+3} andiamo a verificare se è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza. Poiché:

 

\lim_{n\to +\infty}a_n = \lim_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n+3}=1 \neq 0

 

non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza e quindi possiamo affermare che la serie non converge, senza dire (per il momento) null'altro.

 

Osserviamo però che la successione \{a_n\}_n è a termini positivi, infatti posto 

 

\frac{n+1}{n+3}\geq 0

 

tale disequazione è soddisfatta per n\textless -3 \vee n\geq -1 e poiché nella serie n varia da 1 a +\infty, la nostra serie è a termini definitivamente positivi. Non potendo essere irregolare (perché a termini definitivamente positivi) né convergente (perché non è verificata la condizione necessaria di convergenza) essa necessariamente divergerà positivamente.

 

B) Studiare il carattere della serie:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{16-n^4}{n^2+3}

 

Poniamo a_n = \frac{16-n^4}{n^2+3} e controlliamo se è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy. Dato che

 

\lim_{n\to +\infty}a_n = \lim_{n\to +\infty} \frac{16-n^4}{n^2+3}=-\infty \neq 0

 

essa non è soddisfatta, dunque possiamo affermare che la serie non converge, senza dire (per il momento) null'altro.

 

Osserviamo però che la successione \{a_n\}_n è a termini negativi, infatti posto 

 

\frac{16-n^4}{n^2+3}\geq 0

 

tale disequazione è soddisfatta per -2 \leq n \leq 2, ovvero per n\textgreater 2 \ a_n \textless 0. Inoltre, poiché nella serie n varia da 1 a +\infty, la nostra serie è a termini definitivamente negativi e non potendo essere irregolare (perché a termini definitivamente negativi) né convergente (perché non è verificata la condizione necessaria di convergenza) essa necessariamente divergerà negativamente.

 

 


 

 

Per questa lezione è tutto! Nel seguito inizieremo a vedere i vari criteri di convergenza (per le serie a termini positivi) che si utilizzeranno quando è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza.

 

Nel frattempo, per eventuali dubbi o domande, prova a cercare le risposte che ti servono con la barra di ricerca di YM - abbiamo risposto a migliaia di domande! - ed eventualmente apri una discussione nel Forum.

 

Alla prossima

Galois

 

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