Serie a termini positivi, serie a termini negativi

In questa lezione vedremo un particolare tipo di serie numeriche: le serie a segno costante, ovvero le serie a termini negativi e soprattutto le serie a termini positivi, che poi sono quelle per le quali valgono la maggior parte dei criteri che di volta in volta vedremo e che quindi si incontrano in modo massiccio negli esercizi.

 

È quindi indispensabile saperle individuare e conoscere i risultati sulla convergenza ad esse legati che, come fra poco vedremo, semplificheranno non poco lo studio del loro carattere.

 

Serie numeriche a segno costante: a termini positivi, a termini negativi

 

Una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n si dice di segno costante se per ogni n\in \mathbb{N} i termini della successione numerica \{a_n\}_n hanno tutti lo stesso segno, ovvero sono tutti positivi o tutti negativi, quindi in particolare:

 

- avremo una serie a termini positivi se per ogni n\in \mathbb{N} i termini della successione \{a_n\}_n sono tutti positivi, ovvero per ogni n\in \mathbb{N}: \ a_n > 0;

 

- avremo una serie a termini negativi se per ogni n\in \mathbb{N} i termini della successione \{a_n\}_n sono tutti negativi, ovvero per ogni n\in \mathbb{N}: \ a_n < 0.

 

Più nello specifico diremo che:

 

- una serie è a termini non negativi se i termini della successione \{a_n\}_n, \ n \in \mathbb{N} sono non negativi (ovvero sono positivi o nulli), cioè se, per ogni n numero naturale: a_n \ge 0

 

- una serie è a termini non positivi se i termini della successione \{a_n\}_n, \ n \in \mathbb{N} sono non positivi, cioè se, per ogni n numero naturale: a_n \le 0

 

Serie definitivamente positive, serie definitivamente negative

 

Spesso sentirete parlare di serie definitivamente positive o definitivamente negative. Cosa vuol dire? In generale quando sentirete la parola "definitivamente" traducetela con l'espressione: "da un certo punto in poi".

 

In termini rigorosi una serie di dirà definitivamente positiva se da un certo indice in poi (diciamolo k) la successione associata alla serie, ossia \{a_n\}_n, è a termini positivi, ovvero per ogni n\geq k: si ha che a_n > 0 .

 

Esempio: consideriamo la successione definita come segue

 

a_1=-5, \ a_2= -4, \ a_3= -3, \ a_4= -2, \ a_5=-1, \ a_6=0, \ a_7=1, \ a_8=2, \ \dots \ a_{n+1}=a_{n}+1 \mbox{ per }n\geq 8

 

Tale successione è definitivamente positiva, ovvero da un certo indice in poi (in questo caso da a_7=1 in poi) è a termini positivi. Da a_6=0 in poi è a termini non negativi.

 

Lo stesso identico discorso vale per le serie che si dicono a termini definitivamente negativi.

 

 


 

 

Dopo aver visto cos'è una serie di segno costante vediamo quest'utilissimo risultato sul loro carattere: una serie di segno costante non può essere irregolare, cioè una serie di segno costante converge o diverge. In particolare:

 

- una serie a termini positivi (o definitivamente positivi) o converge o diverge positivamente;

 

- una serie a termini negativi (o definitivamente negativi) converge o diverge negativamente.

 

Avremo modo di apprezzare già dalla prossima lezione questo risultato che vi invito a scolpire nella vostra mente Laughing

 

 

Come capire se una serie è a termini di segno costante

 

Rimane ora da vedere come fare a capire se una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n è di segno costante. I modi principalmente utilizzati sono tre.

 

1) Studio del segno tramite le disequazioni

 

Si pone a_n > 0 e si risolve la disequazione trovando gli intervalli in cui \{a_n\}_n è positiva e quelli in cui \{a_n\}_n è negativa. A questo punto in base ai risultati ottenuti si deduce se la serie è o meno a termini positivi e/o negativi.

 

2) Studio del segno tramite le proprietà delle funzioni elementari

 

3) Studio del segno per induzione

 

Quest'ultimo punto utilizzatelo solo se i punti 1) e 2) dovessero fallire, il che accade davvero molto di rado.

 

 

Esempi sulle serie a segno costante

 

A) Consideriamo la serie

 

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+3}{n-1}

 

Posto a_n=\frac{n^2+3}{n-1}, poniamo a_n > 0 ovvero

 

\frac{n^2+3}{n-1} > 0.

 

Risolvendo tale disequazione si ottiene n\textgreater 1. Poiché la nostra serie parte da n=0 e per ogni n\textgreater 1 abbiamo visto che a_n è strettamente maggiore di zero, si ha che la nostra serie è definitivamente positiva.

 

B) Prendiamo

 

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1-n^2}{3n}

 

Posto a_n=\frac{1-n^2}{3n}, poniamo a_n > 0 ovvero

 

\frac{1-n^2}{3n} > 0

 

Per cui si vede che per per n > 1 il termine generale è negativo: a_n < 0. Dato che la serie considerata parte da n=0 e per ogni n\textgreater 1: \ a_n < 0, essa è definitivamente negativa.

 

C) Consideriamo la serie:

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}+log(n)}{n^2+1}

 

In questo caso, invece di risolvere la disequazione

 

\frac{\sqrt{n}+log(n)}{n^2+1} > 0

 

si potrebbe agire molto più velocemente. Basta infatti osservare che il denominatore è una somma di quadrati e come tale è una quantità sempre positiva. A numeratore, dato che n varia da 1 a +\infty, la radice e il logaritmo sono ben definite e sono strettamente maggiori di zero, dunque tale sarà anche la loro somma. Con queste semplici osservazioni possiamo dire che a_n \textgreater 0 per ogni n\in \mathbb{N} e quindi la nostra serie è a termini positivi.

 

 


 

 

I criteri che vedremo nelle lezioni successive varranno per le serie a termini positivi e potrete notare che le serie a termini negativi non vengono mai menzionate. Come mai? Molto semplicemente perché dopo aver constatato (come appena visto) che una serie è a termini negativi ci si può facilmente ricondurre ad una serie a termini positivi

 

Consideriamo a titolo esemplificativo la serie vista nell'esempio B

 

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1-n^2}{3n}

 

che abbiamo visto essere definitivamente negativa. Basta "raccogliere il meno" e portarlo fuori dal segno di serie, ovvero procedere in questo modo:

 

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1-n^2}{3n} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{-(n^2-1)}{3n}=-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2-1}{3n}

 

Ora, la serie \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2-1}{3n} è definitivamente positiva e quindi possiamo studiare il carattere di questa serie coi criteri per le serie a termini positivi. Attenzione però che se la serie a termini positivi ottenuta dovesse divergere, la nostra serie di partenza divergerà negativamente (in quanto serie a termini negativi).

 

 


 

 

Per questa lezione è davvero tutto! Nella successiva introdurremo quella che viene chiamata condizione necessaria di convergenza di una serie numerica. Essa ci permetterà, in taluni casi, di trarre facili conclusioni sul carattere di una serie.

 

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Alla prossima

Galois

 

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