Prodotto secondo Cauchy e teorema di Mertens

L'addizione tra le serie avviene in modo molto naturale così come il prodotto per una costante, il prodotto tra serie è invece meno intuitivo. Perché ce ne preoccupiamo? In questa lezione introdurremo la corretta definizione di prodotto tra due serie, che prende il nome di criterio del prodotto di Cauchy; successivamente vedremo un risultato per la convergenza delle serie prodotto, detto teorema di Mertens.

 

Niente di trascendentale, è necessario porre un po' più di attenzione!

 

Prodotto di due serie secondo Cauchy

 

Epic fail: in un primo momento, quasi tutti gli studenti sono portati a pensare che, date due serie \sum_{n=0}^{\infty}a_n e \sum_{n= 0}^{\infty}b_n, il loro prodotto sia definito come

 

\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot \sum_{n= 0}^{\infty}b_n= \sum_{n=0}^{\infty}a_n b_n\qquad\color{red}\mbox{Epic Fail!}

 

Ebbene ciò è sbagliato, vediamo di portare subito un esempio per convincerci! Grazie alla formula per la somma della serie geometrica sappiamo

 

\sum_{n= 0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=2\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}= \frac{3}{2}

 

e vediamo facilmente che

 

\sum_{n= 0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n=3

 

Seguendo la relazione sbagliata

 

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\cdot \frac{1}{3^n}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{6^n}= \frac{6}{5}\ne 3

 

Ci siamo convinti? Non abbiamo ottenuto l'uguaglianza! Cauchy cerca di mettere le cose a posto definendo quello che in matematichese viene chiamato prodotto di due serie secondo Cauchy ed è definito come segue: date due serie \sum_{n=0}^{\infty}a_n e \sum_{n=0}^{\infty}b_n e costruita la successione

 

c_n= \sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}

 

definiamo prodotto di Cauchy tra le due serie la serie data da

 

\sum_{n=0}^{\infty}c_n= \sum_{n=0}^{\infty}\left[\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}\right]

 

La giustificazione di questa posizione proviene dal prodotto di due serie di potenze

 

\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty}b_n z^n&=(a_0+ a_1 z+a_2 z^2+...)(b_0+b_1 z+b_2 z^2+...)\\&= a_0 b_0+(a_0 b_1+a_1 b_0)z+(a_0 b_2+a_1b_1+a_2 b_0)z^2+...\\&= c_0+c_1 z+c_2 z^2+...\end{align}

 

Per z=1 otteniamo il prodotto secondo Cauchy. Proviamo a fare nuovamente i conti con l'esempio precedente:

 

\begin{align*}(\heartsuit)\,\,\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}&= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}\cdot \frac{1}{3^{n-k}}\\&= \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^n}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^k\right]\end{align}

 

Poiché \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^k= \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}-1}{\frac{3}{2}-1} =-2+3 \left(\frac{3}{2}\right)^n allora 

 

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}\left[\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^k\right]= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}\cdot \left(-2+3\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)=[conti]= 3

 

Abbiamo saltato un po' di passaggi, ma non sono difficili... ad ogni modo abbiamo raggiunto quello che volevamo. In realtà il prodotto alla Cauchy definito nasconde un "bug" molto grande...Può capitare che il prodotto alla Cauchy di due serie convergenti sia divergente e come esempio superclassico possiamo prendere la serie

 

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}

 

e moltiplicarla secondo Cauchy con sé stessa. Otteniamo facilmente

 

c_n=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(n-k+1)}\sqrt{k+1}}

 

inoltre sussiste la disuguaglianza

 

\sqrt{(n-k+1)(k+1)}=\sqrt{\left(\frac{n}{2}+1\right)^2-\left(\frac{n}{2}-k\right)^2}\le \frac{n}{2}+1= \frac{n+2}{2}

 

e dunque

 

|c_n|\ge \sum_{k=0}^{n}\frac{2}{n+2}= \frac{2(n+1)}{n+2}.

 

Facendo tendere n a più infinito scopriamo che il modulo di c_n tende a qualcosa che è maggiore o al più uguale a 2 e dunque c_n non è infinitesima! Per il criterio di Leibniz, invece, la serie  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} converge semplicemente (ma non è assolutamente convergente!) mentre la serie \sum_{n=0}^{\infty}c_n non può convergere proprio perché il termine generale non è infinitesimo!

 

L'inconveniente legato al prodotto di Cauchy viene fortunatamente risolto utilizzando un teorema dovuto a Mertens.

 

Teorema sulla somma del prodotto di Cauchy (teorema di Mertens)

 

Siano \sum_{n=0}^{\infty}a_n e \sum_{n=0}^{\infty}b_n due serie convergenti rispettivamente ad S, T. Supponiamo che almeno una delle due serie sia assolutamente convergente. Risulta allora

 

\sum_{n=0}^{\infty}\left[\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}\right]=S T

 

Cioè il prodotto alla Cauchy converge e la sua somma coincide con il prodotto delle somme delle due serie di partenza! Non è necessario riportare altri esempi, potrete riutilizzare (\heartsuit) :) Una piccola osservazione: nel suddetto esempio, le cose funzionano a meraviglia perché le serie in gioco sono assolutamente convergenti. 

 

 


 

 

Probabilmente nei corsi di base difficilmente incontrerete esercizi che richiedono la nozione di prodotto secondo Cauchy, ma conoscerlo non guasta affatto. Confidiamo nel vostro buon senso, sta a voi decidere se studiarlo o meno...massì studiatelo, non è così terribile dopotutto! Wink

 

Tutto chiaro? Ci auguriamo di sì, in caso contrario utilizzate la barra di ricerca, troverete spiegazioni e soluzioni per i vostri dubbi...ed eventualmente potrete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

In bocca al lupo!

Ifrit

 

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