Serie convergente, serie divergente, serie irregolare

Passiamo subito alle definizioni di serie convergente, serie divergente e serie irregolare: in una parola, introduciamo la nozione di carattere di una serie. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la definizione di serie numerica e abbiamo indicato una generica serie con \sum_{n=1}^{+\infty}a_n. Abbiamo anche introdotto la nozione di successione delle somme parziali, che abbiamo indicato con \{s_n\}_n.

 

Entriamo nel vivo della questione.

 

Carattere di una serie numerica: convergente, divergente, irregolare 

 

Tutti o per lo meno la stragrande maggioranza degli esercizi sulle serie numeriche esordiscono con: "Determinare il carattere della seguente serie...". Ma che cosa si intende per carattere di una serie numerica?

 

 

Riprendiamo brevemente quanto visto nella precedente lezione: data una successione di numeri reali \{a_n\}_n e costruita la successione delle somme parziali \{s_n\}_n, abbiamo definito la serie di termine generale a_n come:

 

\lim_{n\to +\infty}s_n := \sum_{n=1}^{+\infty}a_n

 

Avendo a che fare con un limite si possono avere quattro possibili casi:

 

1) \lim_{n\to +\infty}s_n è un numero reale finito LIn tal caso diremo che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n è una serie convergente e si dirà che la sua somma vale L, cioè che la somma è pari al risultato del limite.


2) \lim_{n\to +\infty}s_n=+\infty, cioè il limite della successione delle somme parziali è un infinito di segno positivo. In tale eventualità la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n si dirà divergente positivamente.

 

3) \lim_{n\to +\infty}s_n=-\infty. In questa circostanza la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n si dirà divergente negativamente.

 

4) \lim_{n\to +\infty}s_n non esiste. Nell'eventualità in cui il limite della successione delle somme parziali non dovesse esistere, diremo che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n è una serie irregolare o indeterminata.

 

Nota bene: dobbiamo calcolare il limite della successione delle somme parziali \{s_n\}_n associata alla successione \{a_n\}_n e non il limite della successione associata alla serie \{a_n\}_n !

 

Benone: possiamo ora rispondere alla domanda che ci eravamo posti. Studiare il carattere di una serie vuol dire stabilire se la serie data converge, diverge positivamente, diverge negativamente o è irregolare.

 

Esempio sul carattere di una serie

 

Sia per ogni n\in \mathbb{N} \ \ a_n=n, cioè come successione \{a_n\}_n associata alla serie prendiamo proprio la successione che ha per termini i numeri naturali. Per essere ancora più chiari sia:

 

a_1=1, \ a_2=2, \ a_3=3, \ \dots \ a_{100} = 100 \ \dots

 

e così via. Costruiamo la successione delle somme parziali \{s_n\}_n associata alla successione \{a_n\}_n:

 

s_1=a_1=1 \\ s_2=a_1+a_2=1+2=3 \\ s_3=a_1+a_2+a_3=1+2+3=6 \\ \dots \\ s_7=a_1+a_2+a_3+....+a_7=1+2+3+4+5+6+7=28 \\ \dots

 

e in generale dovremmo sapere che

 

s_n=\frac{n(n+1)}{2}

 

o no? In caso negativo, potete leggere la relativa dimostrazione nella lezione sul principio di induzione.

 

Per quanto visto in precedenza, per determinare il carattere della serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=\sum_{n=1}^{+\infty}n è sufficiente calcolare il limite per n\to +\infty di \{s_n\}_n. Poiché:

 

\lim_{n\to +\infty} s_n = \lim_{n\to +\infty} \frac{n(n+1)}{2}=+\infty

 

la nostra serie diverge positivamente.

 

Studiare il carattere di una serie è semplicissimo? Forse...

 

Starete pensando: che figata! Studiare il carattere di una serie è semplicissimo...Sfortunatamente dobbiamo spegnere il vostro entusiasmo. Cry La difficoltà nasce dal fatto che una situazione rosea come la precedente è molto, ma molto rara!

 

Assegnata infatti la successione \{a_n\}_n che definisce una serie, in generale, non si riesce quasi mai a scrivere esplicitamente la formula che lega la successione delle somme parziali \{s_n\}_n ad a_n, come invece è accaduto nel precedente esempio. Quindi, ahimé non avremo, in generale, alcun limite da calcolare e lo studio del carattere di una serie andrà ben oltre il calcolo di un limite!

 

Non disperate però! Nelle prossime lezioni vedremo tutti i criteri esistenti sullo studio del carattere di una serie numerica e dei consigli su quando e come utilizzarliWink

 

 


 

 

Prima di lasciarvi vogliamo darvi un risultato utile ai fini dello studio del carattere di una serie numerica. Talvolta invece di sommare a partire da 1 si parte da un numero k\textgreater 1 e si scriverà

 

\sum_{n=k}^{+\infty}a_n

 

Qual è l'aspetto interessante? Data una successione \{a_n\}_n di numeri reali le serie numeriche:

 

\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\sum_{n=k}^{+\infty} a_n

 

hanno lo stesso carattere. In parole povere il carattere di una serie non cambia se si trascura un numero finito di suoi termini e in gergo si dice che il carattere di una serie dipende dalla sua coda.


Attenzione però che è il carattere della serie che non cambia, cioè l'essere convergente, divergente o irregolare. Nel caso in cui dovesse essere richiesto il calcolo della somma della serie essa cambierebbe se vengono tralasciati alcuni termini.

 

 


 

Abbiamo chiarito cosa si intende per studio del carattere di una serie, e in una delle lezioni successive vedremo una importantissima condizione relativa alla convergenza delle serie: uno spartiacque fondamentale sia in termini teorici che pratici.

 

Nel frattempo, per eventuali dubbi o problemi, non esitate e cercate le risposte alle vostre domande tra le migliaia di risposte che lo Staff ha dato agli utenti di YM...e se ciò che cercate non dovesse ancora esserci, aprite pure una discussione nel Forum!

 

Alla prossima

Galois

 

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