Cos'è una serie numerica

Molto spesso, oltre che negli esercizi, si trovano grandi difficoltà nel capire cosa sia una serie numerica e si fa un'enorme confusione tra serie e successione delle somme parziali associata ad una serie. Questa lezione nasce proprio con l'intento di chiarirvi ogni dubbio a riguardo!

 

Da cosa nasce l'idea di serie numerica

 

Da sempre ci si è posti il problema di sommare infiniti numeri (ad esempio tutti positivi) e ovviamente pensare di ottenere un numero finito dalla somma di infiniti numeri potrebbe sembrare qualcosa di assurdo. In realtà non è così e proprio la vita reale ci offre un semplice e concreto spunto che testimonia come la somma di infiniti numeri può darci un numero finito.

 

 

Prendete il vostro caro righello (solitamente di 20 cm) e dividetelo in due parti uguali, ottenendo quindi due parti entrambe lunghe 10 cm. Consideriamo solo la seconda parte (lunga 10 cm) e dividiamola in due parti uguali che misureranno 5 cm l'una. Poi prendiamo la seconda di tali parti (lunga 5 cm) e dividiamola in due parti uguali, ottenendo quindi due parti lunghe 2,5 cm.

 

Continuiamo ancora...Fino a quando? Fino all'infinito! Sappiamo infatti che tra due numeri reali, per quanto piccoli, esiste sempre un numero reale fra essi compreso.

 

Righello ed esempio sulle serie numeriche

 

Sommando le varie parti abbiamo

 

10 cm+5 cm+2,5 cm+1,25 cm+...

 

che altro non è se non una somma infinita, ovvero una somma di infiniti numeri (positivi) la quale, secondo le aspettative, dovrebbe darci come risultato 20 cm. Ricordiamo infatti che siamo partiti da un righello di tale lunghezza.

 

Questo è il concetto che sta alla base di una serie numerica!

 

Di certo però ad un esame universitario, o comunque in termini rigorosi, non possiamo esporre il concetto di serie numerica in questo modo e come vedremo c'è un piccolo errore di fondo nel precedente esempio. Tenendo quindi a mente questo semplice ma efficace esempio formalizziamo il tutto.

 

Cos'è una serie numerica

 

Sia \left\{a_n\right\}_{n\in \mathbb{N}} una successione di numeri reali (nell'esempio precedente: a_1=10, \ a_2=5, \ a_3=2,5, \ a_4=1,75, \ \dots). Diciamo serie numerica la scrittura

 

\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.

 

Attenzione: il simbolo \sum prende il nome di simbolo di sommatoria e fornisce un metodo comodo per indicare una serie. Comodo ma non unico: nulla mi vieta infatti di poter scrivere esplicitamente la somma

 

a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots

 

ma è brutto da vedere. Tongue E solo per questo si preferisce la forma compatta \sum_{n=1}^{+\infty}a_n.

 

Abbiamo visto che questa scrittura, intuitivamente, rappresenta una somma di infiniti addendi a_1, a_2, a_3, ...... Di contro anche un bambino di seconda elementare sa che l'operazione somma si effettua tra un numero finito di addendi, quindi teoricamente la somma precedente non avrebbe significato (ecco il piccolo errore dell'esempio precedente).

 

Serie e successione delle somme parziali

 

Come ovviamo al problema? Introducendo e costruendo a partire dalla successione \left\{a_n\right\}_n una nuova successione così definita:

 

s_1=a_1\ ; \ s_2=a_1+a_2\ ; \ s_3=a_1+a_2+a_3\ \dots \ s_k=a_1+a_2+\dots+a_k\ ; \ \dots

 

Tale successione che indichiamo con \left\{s_n\right\}_{n\in\mathbb{N}} prende il nome di successione delle somme parziali della serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n.

 

Una volta costruita tale successione \{s_n\}_n si passa al limite per n che tende a +\infty, cioè si considera \lim_{n\to +\infty}s_n e si pone:

 

\lim_{n\to +\infty} s_n := \sum_{n=1}^{+\infty}a_n

 

dove il "+\infty" sopra la sommatoria indica il passaggio al limite e non come molti pensano una somma infinita che, lo ripeto, proprio per definizione di somma non ha significato!

 

 


 

 

Ricapitolando: data una successione di numeri reali \{a_n\}_n formata da infiniti termini dei quali ci si propone di calcolare la somma, si costruisce la successione delle somme parziali \{s_n\}_n e si passa al limite della successione delle somme parziali

 

\lim_{n\to +\infty}s_n

 

che corrisponderà alla somma di un'infinità di termini, e che indicheremo brevemente con \sum_{n=1}^{+\infty}a_n.

 

Per chi si sta appena affacciando al mondo delle serie numeriche potrebbe sembrare tutto rose e fiori. Da quanto appena detto sembrerebbe infatti che lo studio di una serie si riconduca solo e soltanto al calcolo di un limite (il condizionale è d'obbligo...). Come vedremo però nella prossima lezione, ahinoi, non è così!

 

Concludiamo con un ultimo, utile avvertimento: la nozione di serie numerica, come abbiamo visto, coinvolge due diverse successioni:

 

- la successione \{a_n\}_n dei termini della serie, dove solitamente a_n si dice termine generale della serie;

 

- la successione \{s_n\}_n, detta successione delle somme parziali.

 

Attenzione quindi alla successione cui si riferisce quando si parla di una serie. Laughing

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Per eventuali dubbi o problemi non esitare e cerca le risposte ai tuoi dubbi, abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. E se ancora non bastasse, apri una discussione nel Forum. 

 

Alla prossima!

Galois

 

Lezione successiva


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