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Punti interni, esterni e di frontiera

Per concludere lo studio dei tipi di punti di un insieme ci occupiamo di punti esterni, punti interni e punti di frontiera. È naturale chiedersi come riconoscere i punti che fanno parte di un sottoinsieme e quali punti invece stanno fuori da esso. La questione si fa più sottile se si pensa a insiemi che hanno un bordo, o per meglio dire una frontiera, è naturale chiedersi se i punti che stanno su questa frontiera siano da considerarsi interni o esterni, o magari se vadano classificati come un genere completamente a sé stante.

 

Proviamo a classificare ciascuna categoria di punti...

 

Classificazione dei punti rispetto a un insieme: interni, esterni, di frontiera

 

Sia E un sottoinsieme dei numeri reali, in simboli E\subseteq\mathbb{R}.

 

Per quanto detto all'inizio dovremo studiare queste tre categorie: punti interni ad Epunti esterni ad Epunti di frontiera di E.

 

Punti interni


Come ormai avrete capito lo studio dei sottoinsiemi dei numeri reali ha molto a che fare con il concetto di intorno completo di un punto. Infatti è possibile dare una caratterizzazione dei punti interni di un insieme proprio attraverso gli intorni (in matematica si chiamano anche palle, potete immaginarli infatti come cerchi centrati nel punto che stiamo considerando).

 

Prima di tutto osserviamo la figura qui sotto:

 

Punto interno ad un insieme

 

abbiamo disegnato l'insieme come un intervallo, poi considerato un punto compreso tra a e b che non fosse proprio a oppure b, in simboli:

 

x_0\in E \mbox{ e }x_0\neq a\mbox{ , }x_0\neq b.

 

A questo punto consideriamo l'intorno completo B(x_0, \varepsilon) disegnato in figura, questo è interamente contenuto nell'insieme E. Quindi l'idea è di descrivere i punti all'interno di un insieme come quei punti in \mathbb{R} per cui possiamo trovare almeno un intorno completo che sia tutto contenuto nell'insieme.

 

Ho scritto almeno un intorno completo in grassetto perché è sufficiente che questa proprietà sia verificata da un solo specifico intorno completo, non da qualunque intorno completo!

 

Infatti se fissate un punto e considerate intorni di esso con raggio sempre più grande, prima o poi il vostro intorno completo uscirà dall'insieme, come nella figura sotto:

 

Intorno non contenuto in un intervallo

 

Diamo la definizione rigorosa.

 

Definizione (punto interno) 

 

Sia E\subseteq\mathbb{R}. x_0\in\mathbb{R} si dice punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo di x_0 tutto contenuto in E. In simboli si ha che  x_0 è punto interno se

 

\exists \varepsilon\in\mathbb{R}^{+}\mbox{ tale che }B(x_0, \varepsilon)\subset E.

 

Dove con \mathbb{R}^{+} si intende il semiasse positivo dei numeri reali, in sostanza i numeri reali positivi.

 

Esempi di punti interni


1. E=(2,4), il punto 3 è interno ad E?


Per stabilire se il punto 3 è interno ad E , seguendo la definizione dobbiamo trovare un intorno completo di 3 tale da essere tutto contenuto in E. Scegliamo B(3,\frac{1}{2}), cioè \varepsilon=\frac{1}{2}. Questo intorno completo è tutto contenuto in E. Dunque il punto è interno.


2. E=\{1\}\cup\{2\}\cup\left\{\frac{5}{4}\right\}, questo insieme ha punti interni?

 

L'insieme E in questo esempio è unione di singoletti, o singleton (cioè insiemi a cui appartiene un solo elemento). Ora un punto è interno ad un insieme se riusciamo a trovare un intorno completo di quel punto tutto contenuto nell'insieme.

 

Per mostrare che un punto non è interno dovremo quindi far vedere che non è possibile trovare alcun intorno completo tale da essere tutto contenuto nell'insieme. Detto brutalmente dobbiamo mostrare che per quanto rendiamo piccolo il raggio dell'intorno completo del punto considerato, questo intorno completo non è mai tutto nell'insieme. Per i singoletti è chiaramente così, dunque E non ha punti interni!


3. E=[1,2], 1 e 2 sono interni ad E ?

 

In questo caso E è un intervallo che comprende i suoi estremi, ora se ci mettimo proprio sul punto 1 e ricordando la natura simmetrica degli intorni, è facile capire come la metà sinistra dell'intorno completo cadrà sempre fuori dall'insieme quando siamo in 1. Se ci mettiamo in due succede esattamente la stessa cosa con la metà destra. Quindi 1 e 2 non sono punti interni ad E.

 

Punti esterni

 

Lo stile con cui definiremo i punti esterni è lo stesso che abbiamo usato per gli interni, o meglio, le due definizioni risulteranno antitetiche.

 

Definizione (punto esterno)

 

Sia E\subseteq\mathbb{R}. x_0\in\mathbb{R} si dice punto esterno di E se esiste un intorno completo di x_0 tutto contenuto nel complementare di E:E^c=\mathbb{R}\setminus E. In simboli si ha che  x_0 è punto esterno se

 

\exists \varepsilon\in\mathbb{R}^{+}\mbox{ tale che }B(x_0, \varepsilon)\subset E^c.

 

Dove con \mathbb{R}^{+} si intende il semiasse positivo dei numeri reali, in sostanza i numeri reali positivi.

 

Esempi sui punti esterni


1. E=(1, 20), il punto -3 è esterno all'insieme?

 

Seguendo la definizione appena data, per dimostrare che il punto -3 è esterno ad E dovremo far vedere che esiste un un intorno completo di -3 interamente contenuto nel complementare di E. Chi è il complementare di E in \mathbb{R}?

 

\mathbb{R}\setminus E

 

cioè (-\infty, 1]\cup [20,+\infty). Consideriamo B(-3, 1), questo intorno completo è contenuto in (-\infty, 1], quindi è interamente parte del complementare di E. Dunque il punto è esterno all'insieme.


2. E=(-\infty,+\infty) ha punti esterni?

 

In questo caso vale più la pena di fermarsi e ragionare rispetto a buttarsi sulla definizione, infatti E coincide con l'intero insieme dei numeri reali, e il complementare di \mathbb{R} in \mathbb{R} è l'insieme vuoto, quindi non potremo mai trovare dei valori reali che stanno al di fuori di E, a maggior ragione non potremo trovare un intorno completo che racchiuda questi punti, perché non ci sono! Dunque l'insieme non ha punti esterni.


3. E=[5,6] ha punti esterni?

 

Procediamo scrivendo il complementare di E : E^c=(-\infty,5)\cup(6,+\infty). Quali punti sulla retta reale hanno un intorno interamente contenuro in E^c? Tutti quelli che sono inerni ad esso, quindi tutti gli infiniti numeri reali che fanno parte di (-\infty,5)\cup(6,+\infty), dunque E ha infiniti punti esterni.

 

Punti di frontiera


Siamo arrivati all'ultima definizione. Gli intorni ci vengono in aiuto ancora una volta, infatti, un po' come quando sul confine tra due stati possiamo passare da una nazione all'altra facendo un salto, vogliamo definire i punti di frontiera come quei punti per cui dato un qualunque intorno completo questo contiene sempre almeno un punto di E e un punto del complementare E^c.

 

Definizione (punto di frontiera)

 

Sia E\subset\mathbb{R}x_0\in\mathbb{R}. x_0 è un punto di frontiera di E se ogni intorno intorno completo di x_0 contiene almeno un punto di E e un punto del complementare E^c.

 

La figura qui sotto dovrebbe chiarire la definizione:

 

Punti di frontiera di un intervallo

 

Vedete bene che qualunque intorno io scelga sul bordo tra E e il suo complementare, qualunque intorno io scelga questo contiene sempre un punto di E e un punto di E^c.

 

Esempi sui punti di frontiera


1. E=[1,3]\cup\{5\}\cup(8,9), quali sono i punti di frontiera di E ?

 

I punti di frontiera sono \partial E=\{1,3,5,8,9\}, è sufficiente considerare i seguenti intorni:

 

B( 1,1)\mbox{, }B(3 ,1)\mbox{, }B(5 ,1)\mbox{, }B(8 ,1)\mbox{, }B( 9,1)\mbox{, }.

 

2. E=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t. c. }x\leq 9\}

 

Possiamo scrivere l'insieme come un unico intervallo: E=(-\infty,9], la frontiera è \partial E=\{9\}, è sufficiente considerare B( 9,1). Non possiamo considerare \pm\infty come punti di frontiera, infatti non è possibile considerare un intorno completo di questi punti poiché non fanno parte dei numeri reali.


3. E=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c.} x^3-1>0\}

 

Vale il discorso fatto prima: E=(1,+\infty), la frontiera è \partial E=\{1\}, è sufficiente considerare B( 1,1).

 

Abbiamo finito la classificazione, solo una nota: i punti di frontiera possono essere sia appartenere che non appartenere all'insieme, dunque per rispondere alla domanda: come classifichiamo i punti che stanno sul bordo di un sottoinsieme dei numeri reali? È sufficiente osservare che questi sono semplicemente i punti per cui qualunque loro intorno completo giace in parte nel sottoinsieme e in parte nel complementare del sottoinsieme considerato.

 


 

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