Punti isolati

Nell'articolo punti di accumulazione abbiamo introdotto una caratterizzazione del rapporto che può sussistere tra un insieme e un punto appartenente all'insieme o meno. Qui parliamo dei punti isolati, che concettualmente sono l'esatto opposto rispetto ai punti di accumulazione.

 

Consideriamo un insieme E\subseteq\mathbb{R}, e sia x_{0} un punto. Abbiamo detto che x_{0} è di accumulazione per l'insieme E se comunque scelto (per ogni) un intorno completo B(x_{0},\varepsilon) risulta che B(x_{0},\varepsilon) contiene almeno un punto di E che non sia x_{0}.

 

Se capita questo, in realtà, B(x_{0},\varepsilon) contiene non solo un punto ma infiniti punti di E (provate a pensarci...).

 

Cosa sono i punti isolati di un insieme?

 

Se un punto isolato è l'esatto contrario di un punto di accumulazione, come possiamo esprimere questo fatto? Semplicemente

 

Definizione (punto isolato di un insieme)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} si dice che x_{0}\in E è un punto isolato per l'insieme E se esiste almeno un intorno B(x_{0},\varepsilon) del punto tale da non contenere alcun punto di E oltre a x_{0}.

 

Dunque tecnicamente non è difficile stabilire se un certo punto x_{0} è isolato rispetto ad un insieme: se riusciamo a trovare un intorno (e ne basta uno solo!) che non contiene altri punti dell'insieme, oltre naturalmente al punto stesso, è fatta: il punto è isolato.

 

A differenza dei punti di accumulazione, un punto isolato deve appartenere all'insieme considerato. Riprendiamo l'esempio visto nel caso dell'insieme

 

E=\left\{\frac{1}{n}\mbox{, dove }n\mbox{ numero naturale}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\right\}\subset\mathbb{R}

 

dove abbiamo visto che l'unico punto di accumulazione è 0, che tra l'altro non appartiene all'insieme. In questo caso tutti e soli i punti isolati dell'insieme sono tutti gli elementi dell'insieme stesso!

 

Prendiamo ad esempio l'elemento \frac{1}{2}, ottenuto per n=2. I punti dell'insieme E più vicini ad esso sono 1 e \frac{1}{3}. Come possiamo trovare un intorno B(\frac{1}{2},\varepsilon)  tale da non contenere altri punti di E? Basta prendere il raggio dell'intorno, se possibile, in modo tale da escludere il punto più vicino. Questi si trova a una distanza pari a \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}, quindi se prendiamo \varepsilon<\frac{1}{6}, ad esempio \varepsilon=1/10, abbiamo che

 

B(\frac{1}{2},\frac{1}{10})\mbox{ non contiene altri punti di }E\mbox{ oltre a }\frac{1}{2}

 

Quindi \frac{1}{2} è un punto isolato dell'insieme E. Con un ragionamento analogo si dimostra che anche tutti gli altri punti dell'insieme E sono isolati, basta ragionare correttamente sul raggio dell'intorno da scegliere.

 

Esempi di punti isolati

 

Vediamo altri esempi.

 

1) Un intervallo, qualunque esso sia, non ha mai punti isolati, ed è abbastanza chiaro il perchè.

 

2) Dato un insieme della forma E=[a,b)\cup\left\{x_{0}\right\}, con x_{0}\notin\left[a,b\right) (dato cioè da un intervallo e un punto) ha evidentemente come unico punto isolato il punto x_{0}.

 

Già che ci siamo vediamo un piccolo ma utile suggerimento...per provare che un punto di un insieme è isolato basta trovare un intorno che non contiene altri punti dell'insieme oltre al punto stesso. Come nell'esempio.

 

Ciò non significa, però, che tutti gli intorni non devono contenere altri elementi dell'insieme oltre al punto stesso: basta un solo intorno. Poi può capitare che ci sia qualche intorno che contiene altri elementi dell'insieme, ma non ce ne può fregare di meno: a noi basta che ce ne sia uno.

 

Vale la solita regola: quando si ha a che fare con una definizione, bisogna dare peso ad ogni singola parola!

 


 

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