Insiemi aperti e chiusi

La definizione e lo studio degli insiemi aperti e degli insiemi chiusi di \mathbb{R} è un argomento più delicato di quanto sembri. Perché sia chiaro vi raccomandiamo di dare almeno uno sguardo agli articoli:

 

intervalli;

tipi di intervalli;

nozione di intorno di un punto;

punti di accumulazione.

 

Cerchiamo di affrontare il problema per passi, cominciamo da qualcosa di più semplice limitandoci al caso degli intervalli.

 

Intervalli aperti, intervalli chiusi

 

Come potremmo cominciare se non direttamente con le definizioni?

 

 

Definizione (intervallo chiuso)

 

Sia I\subseteq\mathbb{R} un intervallo. Diciamo che I è un intervallo chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

 

Definizione (intervallo aperto)

 

Sia I\subseteq\mathbb{R} un intervallo. I si dice intervallo aperto se ogni suo punto è un punto interno, ossia se per ogni punto appartenente a I esiste almeno un intorno del punto che sia interamente contenuto nell'intervallo.

 

In simboli diremo che un intervallo è chiuso se

 

\forall x_{0}\in\mathbb{R}\mbox{ tale che }x_0\mbox{ \`e punto di accumulazione per }I\mbox{, si ha }x_0\in I.

 

Si dirà aperto se invece

 

\forall x\in I \mbox{ }\exists\mbox{ }\varepsilon \mbox{ tale che }B(x_0, \varepsilon)\subseteq I.

 

Attenzione: notate che è sufficiente trovare un solo intorno del punto per dire che questo è interno.

 

Esempi di intervalli aperti o chiusi


Siano a,b\in\mathbb{R}, vogliamo stabilire se i seguenti intervalli sono aperti, chiusi, o né aperti né chiusi, applicando le definizioni che abbiamo appena dato.

 

1. (a,b)

 

L'intervallo è aperto: ogni suo punto è interno. Dimostriamolo! Sia x_0\in I un generico punto in I. Consideriamo l'intorno di raggio

 

\varepsilon=\min\left\{\frac{b-x_0}{2},\frac{x_0-a}{2}\right\}

 

dove min significa che vogliamo il più piccolo dei due elementi dell'insieme ( proprio per indicare che è un insieme abbiamo usato le  parentesi graffe), e le due frazioni sono sostanzialmente la metà della distanza di  x_0\in I  rispettivamente da a e da b.

 

Vediamo cosa significa graficamente:


Intervallo aperto (a,b) e punto interno ad esso

 

L'unica obiezione che potrebbe venire in mente è: cosa succede se come punto scelgo proprio a, o b? Questi punti NON sono contenuti nell'intervallo (a,b)! Quindi abbiamo dimostrato che (a,b), per a,b\in\mathbb{R} è aperto.


L'intervallo non è chiuso: infatti i punti di frontiera sono punti di accumulazione, ma la frontiera di I è \partial I=\{a,b\}, ma a e b non appartengono a I, quindi l'intervallo non contiene tutti i suoi punti di accumulazione.


2. (b,+\infty)

 

Il ragionamento è analogo al punto precedente e l'intervallo risulta aperto e non chiuso, in particolare si noti che \pm\infty\not\in\mathbb{R}.

 

3. (-\infty, a)

 

Si può applicare ancora il ragionamento fatto nel punto 1. dimostrando così che anche questo intervallo è aperto e non chiuso.

 

4. [a,b]

 

Affermiamo che l'intervallo è chiuso, infatti, come potete leggere nell'articolo punti di accumulazione i punti interni all'intervallo sono di accumulazione, come anche quelli di frontiera e nel nostro caso \partial I=\{a,b\}. In particolare a e b appartengono a I. L'intervallo non ha altri punti di accumulazione, dunque tutti i punti di accumulazione di I appartengono a I. Abbiamo così dimostrato che l'intervallo [a,b] è chiuso.

 

L'intervallo non è aperto: per definizione un insieme è aperto se ogni suo punto è interno, ma consideriamo i punti di frontiera di I, mettiamoci in a, qualunque intorno centrato in a risulterà per metà non incluso in I. Dunque l'insieme non è aperto, perché i punti di frontiera non sono interni! Graficamente:

 

intorno di un punto di frontiera e intervallo chiuso

 

5. [b,+\infty)

 

Vale il ragionamento del punto precedente: l'intervallo è chiuso, ma non aperto.


6. (-\infty, a]

 

Vale il ragionamento del punto precedente: l'intervallo è chiuso, ma non aperto.


7. B(a,\varepsilon)\mbox{ con }\varepsilon\in\mathbb{R}

 

Sappiamo che per definizione un intorno si scrive come


B(a,\varepsilon)=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t. c. }|x-a|<\varepsilon\}

 

cioè

 

B(a,\varepsilon)=(a-\varepsilon, a+\varepsilon).

 

Dunque l'intervallo è del tipo (a,b), di conseguenza è aperto, ma non chiuso.

 

8. \{1\}=[1,1]

 

Il singoletto o singleton \{1\}, cioè l'insieme che contiene solo l'elemento 1, non è aperto, infatti consideriamo un intorno centrato in 1 con raggio qualunque. Non possiamo scegliere un raggio tanto piccolo da contenere solo 1, come vedete in figura:


Intorni di un singoletto

 

D'altra parte è chiuso, infatti non ha punti di accumulazione, quindi li contiene tutti!

 

Insiemi reali aperti o chiusi

 

Anche in questo caso partiamo dalle definizioni...

 

Definizione (sottoinsieme chiuso)

 

Sia C\subseteq\mathbb{R}. C si dice insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

 

Definizione (sottoinsieme aperto)

 

Sia A\subseteq\mathbb{R}A si dice insieme aperto se ogni suo punto è un punto interno.

 

Come vedete le definizioni di aperto e chiuso si adattano senza difficoltà al passaggio dagli intervalli agli insiemi. Per capire se un sottoinsieme di \mathbb{R} è aperto o chiuso (eventualmente nessuna delle due cose, o entrambe), è sufficiente studiarne la frontiera e i punti di accumulazione.

 

 

Qualche esempio


1. Consideriamo U\subseteq\mathbb{R} definito come U=U_1\cup U_2\cup U_3, dove

 

U_1=(0,1) U_2=[2,5) U_3=\{6\}

 

L'insieme non è né aperto né chiuso. Esaminiamo la frontiera \partial U=\{0,1,2, 5,6\}: se l'insieme fosse aperto tutti i suoi punti dovrebbero essere interni, ma \{ 2\} e \{ 6\} non lo sono.


D'altra parte se fosse chiuso dovrebbe contenere tutti i suoi punti di accumulazione, ma  \{0,1,5\} non appartengono a U.

 

2. Sia U\subseteq\mathbb{R} definito come U=U_1\cup U_2, dove

 

U_1=(0,1) U_2=(1,5) .

 

L'insieme è aperto, ma non chiuso. Esaminiamo la frontiera \partial U=\{0,1, 5\}: l'insieme è aperto poiché tutti i suoi punti sono interni (1 non appartiene all'insieme!), inoltre vale il teorema che dice che in \mathbb{R} l'unione di insiemi aperti è un insieme aperto.

 

L'insieme non è chiuso infatti nessuno dei punti di frontiera, che come abbiamo già detto sono di accumulazione, è compreso nell'insieme.

 

3. Sia U\subseteq\mathbb{R} definito come U=U_1\cap U_2, dove

 

U_1=(0,1] U_2=[1,5) .

 

L'insieme è chiuso, ma non aperto. Infatti il risultato di questa intersezione è il singoletto \{1\} che abbiamo già studiato negli esempi precedenti.

 

4. Una tipica domanda da interrogazione: esistono insiemi sia aperti che chiusi? Può fare qualche esempio?


La risposta è si, e c'è anche uno specifico termine inglese per indicare questo tipo di insiemi: clopen (dall'unione delle parole closed e open). Gli esempi sono \mathbb{R} e l'insieme vuoto \varnothing.

 

Cerchiamo di capire perché (è probabile che vi si chieda anche di spiegare ;) ). La retta reale è aperta poiché \pm\infty\not\in\mathbb{R}, dunque contiene ogni suo punto. Per lo stesso motivo contiene anche tutti i suoi punti di accumulazione.

 

Per quanto riguarda l'insieme vuoto, tutti i suoi punti sono interni perché non ne possiede, per lo stesso motivo è un chiuso: non ha nessun punto di accumulazione, quindi li contiene tutti.

 

5. Ultima domanda da interrogazione: esistono insiemi né aperti né chiusi? Anche in questo caso la risposta è sì. Basti pensare ad un semplicissimo intervallo della forma

 

[a,b)

 

che non è aperto perché nessun intorno di a è interamente contenuto nell'intervallo stesso, e non è chiuso perché il punto di accumulazione b non appartiene all'intervallo.

 


 

Tutto chiaro? Se così non fosse potete cercare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca, su YM ci sono migliaia di problemi risoltii...e se ancora non bastasse, potrete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

\alpha

 

Lezione precedente .........Esercizi correlati


Tags: definizione di insieme aperto e insieme chiuso - come capire se un insieme di numeri reali è aperto o chiuso.