Punto di accumulazione

In questa lezione vogliamo presentare la nozione di punto di accumulazione di un insieme, per iniziare a trattare il rapporto tra i punti e gli insiemi, con lo scopo successivo di capire le proprietà dei sottoinsiemi di \mathbb{R} proprio a partire dall'analisi dei punti che li costituiscono, e non solo.

 

Consideriamo un generico insieme E\subseteq\mathbb{R}, e sia x_{0}\in\mathbb{R} un punto qualsiasi. Iniziamo col dare una definizione, che poi commentiamo con un po' di esempi.

 

Definizione di punto di accumulazione

 

Diciamo che x_{0} è punto di accumulazione per l'insieme E se comunque scelto un intorno completo B(x_{0},\varepsilon) risulta che B(x_{0},\varepsilon) contiene almeno un punto di E che non sia x_{0}.

 

 

Prestiamo attenzione alla definizione appena data, e soprattutto alle parole "comunque scelto un intorno completo". Per dire che un punto x_{0} è di accumulazione per un insieme E non basta trovare un intorno del punto x_{0} tale da contenere almeno un punto di E che non sia x_{0}.  Dobbiamo fare la verifica per tutti gli intorni del punto considerato!

 

Trovare un intorno completo B(x_{0},\varepsilon) che soddisfi la proprietà non basta, infatti potrebbe benissimo darsi che vi sia un intorno completo B(x_{0},pluto) più piccolo, dunque con raggio pluto<\varepsilon e tale da non contenere nessun punto di E oltre a x_{0}. Ad esempio il punto x_{0} in figura non è di accumulazione per l'intervallo in nero [...)

 

 

Punto che non è di accumulazione

 

 

perchè è verò che c'è un intorno (quello arancione) che contiene almeno un punto dell'intervallo nero ed è diverso da x_{0}, ma la proprietà però deve valere per ogni intorno, e ad esempio nel caso dell'intorno rosso essa non vale.

 

Esempi di punti di accumulazione

 

Vediamo due esempi concreti:

 

1) Il primo - nonchè l'esempio di maggiore utilizzo in questi casi - consiste nel prendere la successione

 

E=\left\{\frac{1}{n}\mbox{, dove }n\mbox{ numero naturale}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\right\}\subset\mathbb{R}.

 

 

Punto di accumulazione di una successione

 

 

Diciamo che x_{0}=0 è un punto di accumulazione per E.

 

Per vedere che comunque scegliamo un intorno completo di x_{0}=0 questo conterrà almeno un punto di E che non sia 0 stesso, dobbiamo ragionare in astratto ed indipendentemente dalla lunghezza degli intorni. Per dimostrare che vale la proprietà "contenere un altro punto di E che non sia x_{0}=0", non possiamo metterci a fare la prova per ogni lunghezza: ci basta fare una verifica in generale e quindi considerare il raggio dell'intorno come un paramentro generico.

 

In questo modo, se riesco a dimostrare la proprietà con un generico intorno B(0,\varepsilon), dove il generico è inteso come "con generica lunghezza", la proprietà vale per ogni intorno! Nel caso considerato, prendiamo B(0,\varepsilon). Abbiamo la certezza che comunque scelgo \varepsilon troverò un punto di E, che non sia zero, e che vi appartiene?

 

Gli elementi di E sono della forma \frac{1}{n}, quindi comunque scelgo un raggio \varepsilon dell'intorno sono sicuro di trovare all'interno dell'intorno almeno un punto di E: basta prendere n tale che \frac{1}{n}<\varepsilon, ossia comunque scelgo \varepsilon è sufficiente prendere n>\frac{1}{\varepsilon} per avere la proprietà di appartenenza.

 

Ad esempio, prendo \varepsilon=0.2, avrò che ogni elemento \frac{1}{n} a partire da n>\frac{1}{0.2}=5, quindi a partire da n=6, sta nell'intorno prefissato.

 

In particolare, notiamo che se ho un punto di accumulazione e quindi in un suo intorno qualsiasi cade almeno un punto dell'insieme, in realtà ne cadono infiniti!

 

Inoltre un punto di accumulazione per un insieme può non appartenere all'insieme stesso. Nell'esempio se n è tale che \frac{1}{n}\in B(0,\varepsilon), allora ogni elemento del tipo \frac{1}{N} con N>n apparterrà a B(0,\varepsilon).

 

Tutti gli altri punti dell'insieme E considerato non sono punti di accumulazione per l'insieme stesso. Per capirlo, consideriamo ad esempio il primo elemento dell'insieme, cioè 1 (ottenuto per n=1). Il ragionamento si estenderà facilmente a tutti gli altri elementi dell'insieme. In tal caso 1 non è punto di accumulazione per E e per vederlo basta trovare un solo intorno di E che non contiene altri punti di E a parte 1 stesso. Se infatti la proprietà non vale per un solo intorno, allora non è vero che la proprietà vale comunque scelgo un intorno.

 

Il punto di E più vicino a 1 è 1/2, ottenuto per n=2, quindi per vedere che la proprietà non vale basta prendere un intorno con raggio 1/3. Detto, fatto. B(1,\frac{1}{3}) non contiene altri punti di E a parte 1 stesso.

 

 

2) Prendiamo un qualsiasi intervallo I\subseteq\mathbb{R}. Ogni punto contenuto nell'intervallo è un punto di accumulazione per l'intervallo stesso, ed è facilissimo vederlo. Comunque prendo un intorno di un fissato punto x_{0} contenuto nell'intervallo, trovo sempre almeno un punto c dell'intervallo che sta nell'intorno (in realtà infiniti) e che non sia x_{0} stesso. Facile, no?

 

 

Punto di accumulazione per un intervallo

 

 

Qui notiamo che un punto di accumulazione per un insieme può appartenere all'insieme stesso.


Cosa succede con gli estremi di un intervallo? Che siano inclusi (p. quadra) o esclusi (p. tonda), poco importa: in tutti i casi sono sempre punti di accumulazione per l'intervallo stesso. Prendiamo ad esempio l'intervallo [a,b) . Se consideriamo il punto b, questo è di accumulazione per l'intervallo considerato: comunque scelgo un intorno completo, la parte sinistra dell'intorno conterrà sempre almeno un punto dell'intervallo che non sia b. Lo stesso dicasi per a, considerando però in tal caso la parte destra dell'intorno completo.

 

3) Prendiamo infine l'insieme:

 

E=(0,1)\cup\left\{1.5\right\}

 

(intervallo più punto singolo) allora è evidente che 1.5 non è di accumulazione per E. Infatti posso trovare almeno un intorno di 1.5 che non contiene alcun punto di E tranne 1.5 stesso. Uno a caso? L'intorno di 1.5 avente raggio 0.4 B(1.5,0.4). E se la proprietà non vale per  uno specifico intorno non può valere per ogni intorno, quindi 1.5 non è di accumulazione!

 

Ricordatevi sempre: non fatevi spaventare quando in una definizione compare per ogni; per verificarla è sufficiente fare una verifica in generale, trattando i parametri che compaiono (nel nostro caso specifico le lunghezze \varepsilon degli intorni) come variabili. Viceversa, se si vuole far vedere che una definizione contenente un per ogni non vale basta trovare un controesempio, cioè un esempio in cui la definizione non è soddisfatta. Esattamente come nei casi in cui abbiamo trovato un intorno che non soddisfaceva la condizione di contenere un punto dell'insieme.

 

I punti di accumulazione ci serviranno per definire la nozione di insieme chiuso o aperto, che puoi trovare nell'articolo sottoinsiemi aperti o chiusi di R. Prima introdurremo altri tipi di punti, che si definiscono con logiche analoghe ai punti di accumulazione. La materia può sembrare spigolosa all'inizio, ma è sufficiente non impanicarsi e capire ogni singola parola delle definizioni, dove con ogni si intende tutte!... Surprised

 


 

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