Intorno di un punto. Intorno sinistro e destro

I concetti di intorno di un punto e di intorno completo, che ci apprestiamo ad introdurre qui ed ora, sono probabilmente le nozioni di cui si fa maggiore uso in Analisi Matematica, e che allo stesso tempo vengono considerati ostici dalla maggior parte degli studenti.

 

La definizione di intorno di un punto (con punto intendiamo come al solito un numero reale) è in realtà molto semplice e viene spesso confusa con gli utilizzi per i quali viene introdotta, che potranno sì apparire complessi ai neofiti, ma che richiedono semplicemente un approccio mentale diverso da quello rispetto cui siamo normalmente abituati.

 

Che cos'è un intorno di un punto?

 

Ad esempio, cos'è l'intorno di un punto x_{0}? È un intervallo, niente di più e niente di meno.

 

Non spaventatevi per quella strana scrittura x_{0}: è solo un modo di indicare un generico valore reale, avremmo anche potuto chiamarlo "tizio", x_{0} è solo un nome e si sceglie di dare al generico punto proprio questo nome per motivi che saranno chiari nel seguito. Niente paranoie!

 

Prendiamo un valore reale, chiamiamolo x_{0}, e definiamo intorno centrato in x_{0}, o anche intorno completo del punto x_{0} un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra di lunghezza arbitraria con centro nel punto x_{0}.

 

Ciò che potrà spiazzarvi, già in questa semplice definizione, è che non stiamo definendo gli estremi dell'intervallo detto intorno; ne stiamo definiendo il centro e il raggio, come se fosse una circonferenza, o una sfera.

 

Generalmente, si indica un intorno completo di un punto x_{0} al liceo con la notazione I(x_{0},\varepsilon), negli studi universitari con B(x_{0},\varepsilon) o ancora con B_{\varepsilon}(x_{0}): qui \varepsilon sta ad indicare il raggio dell'intorno completo, che avrà quindi diametro 2\varepsilon.

 

 

Intorno di un punto

 

Definizioni rigorose sugli intorni

 

Dal punto di vista insiemistico, possiamo riassumere quanto appena detto in simboli, dando cioè la

 

Definizione (intorno completo di un punto)

 

Diciamo B(x_0,\varepsilon) è un intorno completo del punto x_0 di raggio \varepsilon un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra della forma

 

B(x_{0},\varepsilon)=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }\left|x-x_{0}\right|<\varepsilon\right\}=

=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }-\varepsilon<x-x_{0}<\varepsilon\right\}

 

vale a dire che un intorno di centro x_{0} e raggio \varepsilon è l'insieme dei punti x che distano da x_{0} meno di \varepsilon, a sinistra oppure a destra (e questo spiega la presenza del valore assoluto \left|x-x_{0}\right|). Per indicarlo, potremmo anche scrivere

 

B(x_{0},\varepsilon)=\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)

 

Una volta capito il concetto di intorno completo, introduciamo altre cinque nozioni di intorno che ci torneranno utili a seconda degli argomenti dell'Analisi che tratteremo.

 

Definizione (intorno sinistro di un punto)

 

Si definisce intorno sinistro di un punto x_{0} di raggio \varepsilon l'intervallo aperto a sinistra e a destra dato da


(x_{0}-\varepsilon,x_{0})=\left\{x\in\mathbb{R} \ \mbox{ tali che} \ x_{0}-\varepsilon<x<x_{0}\right\}

 

(si considera solamente la parte a sinistra del punto). Con un disegno:

 

 

Intorno sinistro



Definizione (intorno destro di un punto)

 

Si definisce intorno destro di un punto x_{0} di raggio \varepsilon l'intervallo aperto a sinistra e a destra dato da


(x_{0},x_{0}+\varepsilon)=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x_{0}<x<x_{0}+\varepsilon\right\}

 

(si considera solamente la parte a destra del punto). Con un disegno:

 

 

Intorno destro

 

 

Come si possono adattare le ultime due definizioni nel caso in cui il centro dell'intorno sia -\infty e nel caso in cui il centro dell'intorno sia +\infty? Intanto è evidente che non è possibile definire un intorno completo di -\infty o di +\infty, in questi casi invece si procede così.

 

 

Definizione (intorno di - infinito)


Si definisce intorno di meno infinito-\infty ) un qualsiasi intervallo aperto a sinistra e a destra del tipo

 

(-\infty,-M)=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x<-M\right\}

 

con M un arbitrario valore reale positivo.

 

 

Intorno destro di meno infinito



Definizione (intorno di + infinito)


Si definisce intorno di più infinito+\infty ) un qualsiasi intervallo aperto a sinistra e a destra del tipo

 

(M,+\infty)=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x>M\right\}

 

con M un arbitrario valore reale positivo.


Intorno sinistro di più infinito

 

 

Definizione di intorno bucato

 

Si definisce intorno bucato di un punto x_0 un intorno B(x_0, \varepsilon) di x_0 privato del punto x_0, ovvero:

 

B(x_0, \varepsilon) - \{x_0\}=(x_0-\varepsilon, x_0) \cup (x_0, x_0+\varepsilon)

 

Con un disegnino:

 

 

Intorno bucato

 

 

Che ce ne facciamo di tutte queste definizioni apparentemente inutili? Un sacco di cose. La curiosità è uno strumento molto utile ai fini della conoscenza, ma è pure importante avere fiducia e porsi le giuste domande al giusto momento. Per chi si appresta allo studio dell'Analisi Matematica, leggere le definizioni dei vari intorni e avere la pretesa di sapere qui ed ora a che cosa servono, è alla stregua di spiegare a un bambino delle elementari come funziona il sistema fiscale italiano.

 

Voler capire è importante e i preconcetti (in senso di concezione anticipatoria - occhio allo slittamento semantico!) sono utili, ma molto spesso sono proprio i preconcetti a chiudere le strade verso la conoscenza. Ogni cosa a suo tempo... Wink

 

 


 

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