Intervalli aperti, chiusi, limitati, illimitati

Passiamo a catalogare i possibili tipi di intervalli, e vediamo come è possibile classificare i vari intervalli distinguendo tra intervalli aperti, chiusi, intervalli limitati e illimitati.

 

Nel precedente articolo abbiamo introdotto la nozione di intervallo reale e di insieme reale abbiamo accennato la definizione di intervallo I\subseteq\mathbb{R}, essenzialmente un sottoinsieme costituito da tutti i valori reali compresi tra due elementi x_{1},x_{2}, detti estremi dell'intervallo considerato.

 

Tipi di intervalli: aperti, chiusi, limitati, illimitati

 

Cercheremo ora di essere più specifici e, alla luce delle notazioni che abbiamo introdotto, di dare una caratterizzazione dei vari tipi di intervalli che possiamo incontrare come sottoinsiemi di \mathbb{R}.

 

 

Un primo elemento distintivo che contraddistingue gli intervalli è sicuramente la limitatezza/illimitatezza.

 

Un secondo aspetto al quale faremo riferimento esprime invece, in prima analisi, una caratteristica strutturale degli intervalli (e più in generale degli insiemi) che è la distinzione tra aperto/chiuso.

 

Un esempio: se consideriamo l'intervallo [-2,5], questi è limitato e chiuso. Vediamo perchè.

 

 

Definizione (intervallo limitato, illimitato)

 

Diciamo che I\subseteq{R} è un intervallo limitato se entrambi gli estremi x_{1},x_{2} sono valori finiti. Diciamo invece che I è un intervallo illimitato se almeno uno dei due estremi è -\infty (nel caso dell'estremo sinistro) oppure +\infty  (nel caso dell'estremo destro).

 

Intervalli limitati e intervalli illimitati

 

Se in particolare abbiamo a che fare con un intervallo illimitato, possiamo essere più precisi. Sia c un valore reale finito (un numero). Possiamo specificare che:



- se un intervallo ha estremo sinistro c ed estremo destro +\infty , è illimitato superiormente;

 

- se un intervallo ha estremo sinistro -\infty ed estremo destro c, è illimitato inferiormente;

 

- se un intervallo ha estremo sinistro -\infty ed estremo destro +\infty, è illimitato sia inferiormente che superiormente.

 

Ad esempio: l'intervallo [2,3) è limitato, (2,+\infty) è superiormente illimitato, (-\infty,1000) è inferiormente illimitato. Gli ultimi due di questi sono chiaramente intervalli illimitati.

 

In realtà la limitatezza andrebbe definita in un modo più generico: si noti che la definizione appena data si adatta bene agli intervalli ma non ad insiemi qualsiasi di \mathbb{R}. Per essere precisi dovremmo introdurre la nozione di metrica, di cui però qui non ci occupiamo. Possiamo ad ogni modo stabilire se un sottoinsieme qualsiasi A\subseteq\mathbb{R} è limitato grazie al seguente semplicissimo criterio.

 

Definizione (insieme reale limitato, illimitato)

 

Diciamo che un A\subseteq{R} è un insieme limitato se esiste un intervallo I limitato tale da contenere A. In caso contrario diciamo che A è un insieme illimitato.

 

Intervalli aperti e intervalli chiusi

 

Passiamo a considerare il secondo aspetto che può caratterizzare gli intervalli. Anche in questo caso trattiamo il discorso da un punto di vista specifico senza dare definizioni che si possano utilizzare per gli insiemi in generale.

 

Per stabilire se un intervallo è aperto o chiuso, sarà sufficiente considerarne gli estremi.

 

 

Definizione (intervallo chiuso o aperto a sinistra/a destra)

 

Sia I\subseteq\mathbb{R} un intervallo.

 

Se I ha estremo sinistro limitato, si dice chiuso a sinistra se l'estremo sinistro è incluso, aperto a sinistra se l'estremo sinistro è escluso.

 

Se I ha estremo destro limitato, si dice chiuso a destra se l'estremo destro è incluso, aperto a destra se l'estremo destro è escluso.

 

Sulla base delle definizioni precedenti possiamo stilare un piccolo "catalogo" degli intervalli reali che si possono incontrare in Analisi. Siano a, b due numeri reali finiti.

 

(a,b) è un intervallo aperto a sinistra e a destra, e limitato;

 

[a,b] è un intervallo chiuso a sinistra e a destra, e limitato;

 

[a,b) è un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, e limitato;

 

(a,b] è un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra e limitato;

 

(-\infty,b) è un intervallo aperto a destra e illimitato inferiormente, e illimitato;

 

(-\infty,b] è un intervallo chiuso a destra e illimitato inferiormente, e illimitato;

 

(a,+\infty) è un intervallo aperto a sinistra e illimitato superiormente, e illimitato;

 

[a,+\infty) è un intervallo chiuso a sinistra e illimitato superiomente, e illimitato;

 

(-\infty,+\infty) è un intervallo illimitato sia inferiormente che superiormente, e illimitato.

 

Avremo modo di proporre definizioni più rigorose nella lezione su insiemi aperti e insiemi chiusi.

 

Con questa piccola guida sugli intervalli abbiamo così integrato il discorso iniziato nell'articolo su intervalli e insiemi reali. Chiudiamo con una precisazione per gli amanti del labor limae: avremmo potuto azzardare una definizione di intervallo aperto o chiuso, come d'altra parte molte persone fanno, dicendo ad esempio che "un intervallo è chiuso se è chiuso sia a sinistra che a destra".

 

Sbagliato, fuorviante, inutile: per definire la nozione di intervallo o insieme aperto/chiuso ci serviranno le definizioni di punto di accumulazione e di intorno di un punto.

 

Per dare un'idea, faremo vedere con queste definizioni che l'intervallo [2,+\infty) è chiuso pur avendo l'estremo destro non incluso.

 

Da un lato è vero che è sufficiente guardare gli estremi di un intervallo e la loro inclusione/esclusione per conoscerne vita, morte e miracoli; dall'altra è meglio evitare frettolose generalizzazioni che avrebbero il solo effetto di trarre in inganno chi è agli esordi con lo studio dell'Analisi.

 

In conclusione: non dire gatto se non l'hai nel sacco. :) In caso di dubbi, puoi cercare le risposte ai tuoi dubbi tra le migliaia di esercizi risolti su YM, ed eventualmente aprire una discussione nel Forum.

 

وداعا, see you soon guys!

Agente Ω

 

Lezione precedente .........Esercizi correlati......... Lezione successiva


Tags: classificare gli intervalli reali in intervalli aperti, chiusi, né aperti né chiusi e intervalli limitati e illimitati.