Funzione limitata e illimitata

Prima di cominciare lo studio della limitatezza delle funzioni e di presentare le definizioni di funzioni limitate e illimitate reali di variabile reale vorremmo elencarvi qualche articolo che potrebbe essere utile per ricordare alcune definizioni importanti:

 

1) funzione reale di variabile reale;

2) intervalli e insiemi reali;

3) estremo inferiore e superiore;

4) Proprietà di sup e inf.

 

Idea intuitiva di funzione limitata e illimitata

 

Ormai avrete capito che la nostra impostazione è quella di sviluppare l'idea intuitiva prima, per poi passare alle definizioni. Quindi, cosa c'è di più intuitivo dei grafici?

 

 

Consideriamo una funzione f:A\rightarrow B, dove A\subseteq\mathbb{R}\mbox{ e } B\subseteq\mathbb{R}. A parole consideriamo una funzione definita su un sottoinsieme dei numeri reali, a valori in un altro sottoinsieme dei numeri reali. (Avete fretta e volete leggere subito le definizioni? Le trovate tutte in fondo all'articolo in rosso!)

 

Esempio di funzione limitata superiormente


Funzione limitata superiormente

 

il nome diceva già tutto vero? Una funzione limitata superiormente è una funzione le cui immagini ammettono estremo superiore ( sup ) finito. Sempre graficamente, quando abbiamo a che fare con una funzione limitata superiormente possiamo tracciare una retta parallela all'asse x tale che il grafico della funzione stia tutto sotto di essa:


Esempio funzione superiormente limitata


II) Funzione limitata inferiormente


Funzione limitata inferiormente

 

Come vedete nel grafico, anche qui le immagini della funzione non arrivano a -\infty, dunque possiamo tracciare una retta parallela all'asse x tale che il grafico stia tutto sopra di essa, infatti vale che una funzione è limitata inferiormente se la sua immagine è limitata inferiormente (cioè ammette inf limitato):


Esempio di funzione inferiormente limitata

 

III) Funzione limitata

 

Funzione limitata

 

Una funzione limitata è una funzione limitata sia superiormente che inferiormente. In questo caso possiamo disegnare sopra e sotto la funzione due rette parallele all'asse x tali da circoscriverne il grafico


Esempio di funzione superiormente e inferiormente limitata

 

Definizioni di funzione limitata o illimitata

 

Passiamo alle definizioni rigorose. Per comprenderle fino in fondo è necessario sapere che cos'è l'immagine di una funzione.

 

Definizione (funzione limitata superiormente)

 

Una funzione f:A\subseteq\mathbb{R}\rightarrow B\subseteq\mathbb{R} si dice limitata superiormente se l'insieme delle immagini di f f(A)\subseteq B è limitato superiormente (ha sup finito).

 

Definizione (funzione limitata inferiormente) 

 

Una funzione f:A\subseteq\mathbb{R}\rightarrow B\subseteq\mathbb{R} si dice limitata inferiormente se l'insieme delle immagini di f f(A)\subseteq B è limitato inferiormente (ha inf finito).

 

Definizione (funzione limitata)

 

una funzione f:A\subseteq\mathbb{R}\rightarrow B\subseteq\mathbb{R} si dice limitata se l'insieme delle immagini di f f(A)\subseteq B è limitato inferiormente e superiormente (cioè se ha sia sup che inf finiti).

 

Esempi di funzioni limitate e illimitate


1. Consideriamo la funzione f(x)=\sin(x).

 

Quali sono dominio e immagine di tale funzione? f(x): \mathbb{R}\rightarrow [-1,1].

 

Le immagini di questa funzione sono comprese nell'intervallo [-1,1], quindi l'insieme delle immagini è limitato sia superiormente che inferiormente, dunque f(x)=\sin(x) è limitata.

 

Graficamente abbiamo:

 

Seno come funzione limitata

 

si vede bene come sia possibile racchiudere questo grafico nella porzione di piano compresa tra le rette y=1\mbox{ e }y=-1.

 

2. Consideriamo la funzione logaritmof(x)=\ln(x).

 

Come nell'esempio precedente ci chiediamo quale sottoinsieme dei numeri reali contenga le immagini della funzione logaritmo, sappiamo che per definizione il logaritmo è: f(x): \mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}. Dunque le immagini della funzione sono contenute in un intervallo illimitato sia superiormente che inferiormente. La funzione logaritmo è quindi illimitata.

 

Graficamente si ha:

 

Logaritmo come funzione illimitata

 

come vedete l'ombra del grafico della funzione sull'asse y lo copre interamente, il logaritmo cresce lentamente all'infinito, però lo raggiunge. Quando poi si avvicina a zero va velocissimo a -\infty, dunque la funzione non è limitata né superiormente, né inferiormente.


3. Consideriamo ora la funzione esponenziale f(x)=e^x, limitiamo però il suo dominio a (-\infty, 0).

 

Con questa restrizione otteniamo una funzione limitata sia superiormente che inferiormente, infatti si ha f:(-\infty,0)\rightarrow (0,1), poiché l'esponenziale è sempre maggiore di zero per definizione, e la restrizione del dominio che abbiamo fatto fa sì che l'estremo superiore delle immagini della funzione sia 1, (ricordate che e^0=1). Questo non è il massimo, infatti x=0 non appartiene all'intervallo (-\infty,0) che abbiamo scelto in questo esempio.

 

Graficamente si ha

 

Funzione limitata inferiormente e superiormente

 


 

È tutto chiaro? Se così non fosse potrete sempre aprire una discussione nel Forum, e cercare le risposte ai vostri dubbi tra le migliaia di esercizi risolti presenti su YM. Wink

 

\alpha

 

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