Proprietà dell'estremo superiore e inferiore

Dopo aver introdotto le definizioni di estremo inferiore e superiore di un insieme, passiamo alle proprietà dell'estremo superiore e inferiore, le quali in particolare ci torneranno molto utili in svariate dimostrazioni e in svariate tipologie di esercizi.

 

Proprietà di estremo superiore e inferiore per insiemi limitati

 

Limitiamoci al caso di insiemi superiormente e inferiormente limitati, cioè sottoinsiemi di \mathbb{R} che hanno sup e inf limitati. Sotto questa ipotesi di limitatezza si verificano le proprietà seguenti (sono un sacco, ma possono essere molto utili, quindi abbiate pazienza!).

 

 

Siano A,B\subseteq\mathbb{R} limitati e non vuoti e indichiamo con a e b due generici elementi appartenenti rispettivamente ad A e a B, cioè a\in A e  b\in B.

 

1. \inf(A)\leq\sup(A) ;

 

2. Se A\subseteq B si ha  \inf(B)\leq\inf(A)\leq\sup(A)\leq\sup(B);

 

3. Se per ogni a\in A esiste b\in B tale che a\leq b , allora \sup(A)\leq\sup(B);

 

4. Se per ogni a\in A esiste b\in B tale che a\geq b , allora \inf(B)\leq\inf(A);

 

5. \inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B) e \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B) , dove l'insieme A+B è definito come segue:  A+B=\{a+b | a\in A, b\in B\}) ;

 

6. Sia c\in\mathbb{R} , allora \inf(c+A)=c+\inf(A) , dove l'insieme A+c è definito come segue:  A+c=\{a+c | a\in A\}) ;

 

7. Cosa succede agli estremi dell'insieme se invece che sommare per un numero moltiplico l'insieme? L'insieme che otteniamo è c\cdot A=\{c\cdot a : a\in A\} , dobbiamo distinguere due casi:

 

  • Se c>0 si ha che \inf(c\cdot A)=c\inf(A)\mbox{ e } \sup(c\cdot A)=c[\sup(A)];
  • Se c<0 si ha che \inf(c\cdot A)=c\sup(A)\mbox{ e } \sup(c\cdot A)=c[\inf(A)];

 

8. Come si comportano inf e sup quando moltiplichiamo due insiemi? Dobbiamo lavorare su A\cdot B=\{a\cdot b : a\in A, b\in B\}) .  Supponiamo che A B contengano solo elementi strettamente maggiori di zero, analogamente si può supporre \inf(A)>0,\sup(A)>0 e \inf(B)>0,\sup(B)>0 . Allora si ha che \inf(A\cdot B)=\inf(A)\cdot\inf(B) e \sup(A\cdot B)=\sup(A)\cdot\sup(B);

 

9. Cosa possiamo dire dell'insieme quoziente tra 1 e A? Definiamolo: 1/A=\{\frac{1}{a}: a\in A \} chiaramente dobbiamo supporre 0\not\in A, ora possiamo procedere per casi:

 

  • Se \inf(A)>0 si ha che \inf(1/A)=\frac{1}{\sup(A)}\mbox{ e } \sup(1/A)=\frac{1}{\inf(A)};
  • Se a>0\mbox{ e }\inf(A)=0 si ha che \inf(1/A)=\frac{1}{\sup(A)}\mbox{ e } \sup(1/A)=+\infty;

10. Passiamo al caso generale in cui consideriamo l'insieme B/A=\{\frac{b}{a} : b\in B\mbox{, } a\in A \} :

 

  • Se \inf(A)>0 e b>0\mbox{ } \forall b\in B, allora \inf(B/A)=\inf(B)/\sup(A)\mbox{ e } \sup(B/A)=\sup(B)/\inf(A);
  • Se \inf(A)=0 e b>0 \mbox{ }\forall b\in B e a>0, allora \inf(B/A)=\inf(B)/\sup(A)\mbox{ e } \sup(B/A)=+\infty;

11. Come si comportano inf e sup rispetto alle potenze? Lavoriamo con l'insieme A^c=\{a^{c}\mbox{ t.c. } a\in A\}, dove c è un numero reale fissato. Dobbiamo distinguere qualche caso:

  • Se gli elementi di A sono positivi e c è una costante positiva, allora \inf(A^c)=\inf(A)^c e \sup(A^c)=\sup(A)^c ;
  • Se \inf(A)>0, c<0 , allora \inf(A^c)=\sup(A)^c e \sup(A^c)=\inf(A)^c
  • Se \inf(A)=0, c<0 e A ha solo elementi strettamente positivi (cioè 0 non apparteiene ad A), allora \inf(A^c)=\sup(A)^c e \sup(A^c)=+\infty

 

12. Abbiamo esaminato l'insieme creato elevando a potenza gli elementi dell'insieme A di partenza, non possiamo certo escludere dal nostro elenco quello ricavato calcolando il logaritmo in base c degli elementi di A: \log_{c}(A)=\{\log_{c}(a) \mbox{ t.c. } a\in A\} , posto che \forall a\in A \mbox{ sia } a>0.

 

  • Se c>1 allora \inf(\log_{c}(A)=\log_{c}(\inf(A)) e \sup(\log_{c}(A)=\log_{c}(\sup(A)) ;
  • Se 0<c<1 allora \inf(\log_{c}(A)=\log_{c}(\sup(A)) e \sup(\log_{c}(A)=\log_{c}(\inf(A)) ;
  • Se \inf(A)=0, c>1  si ha \inf(\log_{c}(A))=-\infty e \sup(\log_{c}(A))=\log_{c}(\sup(A)) ;
  • Se \inf(A)=0, 0<c<1 , si ha \inf(\log_{c}(A)=\log_{c}(\sup(A)) e \sup(\log_{c}(A))=+\infty.

 

 


 

Finalmente la lista delle innumerevoli proprietà dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore di un sottoinsieme limitato dei numeri reali è finita! Per qualunque dubbio potete cercare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca, tra le migliaia di esercizi che abbiamo risolto...e se ancora non bastasse potrete aprire una discussione nel Forum.

 

\alpha

 

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