Sup e inf: estremo superiore e estremo inferiore

In questo articolo definiremo i concetti di estremo inferiore e estremo superiore (sup e inf), di massimo e minimo e di maggiorante e minorante di insiemi reali. Se volete dare un volto a questi sottoinsiemi di numeri reali che sembrano così astratti potete pensare ad unioni di intervalli, per esempio

 

[0,5]\cup (2\pi, 12)\cup [3, 15)\cup \{20\},

 

Graficamente questa unione si può rappresentare così

 

Insieme dato dall'unione di intervalli

 

 

Ora che abbiamo dato un'espressione riconoscibile agli insiemi con cui abbiamo a che fare possiamo procedere con la nostra ricerca della definizione di massimo e minimo di un insieme. Una precisazione, definiremo altri enti, se volete saltare direttamente alle definizioni di estremo superiore, estremo inferiore e di massimo e minimo, le trovate un po' più avanti evidenziate in rosso. Le definizioni che daremo prima non sono indispensabili per l'uso scolastico (attenzione: per uno studente universitario si!), però sono decisamente utili per la comprensione.

 

Maggiorante e minorante

 

Partiremo dai concetti di maggiorante e minorante di un insieme. Non dimenticate che stiamo lavorando sui numeri reali, cioè una bella retta orientata dal numero reale più piccolo al reale più grande. Preso un sottoinsieme di \mathbb{R} qualisiasi, che avrà una forma analoga a quello che abbiamo disegnato sopra, sarà sempre possibile trovare almeno un elemento più grande di tutti quelli che appartengono all'insieme?

 

Certo che si! Proprio perché stiamo su una retta orientata, più grande significa semplicemente trovare degli elementi che stiano a destra del vostro insieme. Pensate ai casi possibili:

 

1) Ne troverete solo uno nel caso il vostro insieme contenga un intervallo del tipo (a,+\infty), allora l'unico elemento più grande è solo +\infty.

 

2) Altrimenti troverete infiniti elementi più grandi dell'insieme: infatti se il vostro insieme contiene come intervallo più grande (leggi più a destra sulla retta reale), un intervallo finito, del tipo (a,b), gli elementi a destra della b, in questo caso, b compresa sono tutti più grandi di ogni elemento contenuto nell'insieme.

 

Rigorosamente la definizione di elemento maggiorante è:

 

Definizione (maggiorante)

 

Sia X\subseteq\mathbb{R} un sottoinsieme dei numeri reali. y\in\mathbb{R} si dice maggiorante dell'insieme X se per ogni x\in X si ha che x\leq y.

 

Analogamente possiamo definire il minorante di un insieme.

 

Definizione (minorante)

 

Sia X\subseteq\mathbb{R} un sottoinsieme dei numeri reali. y\in\mathbb{R} si dice minorante dell'insieme  X se per ogni x\in X si ha che y\leq x.

 

Dunque i maggioranti/minoranti sono elementi che non necessariamente appartengono all'insieme per cui vale quella disuguaglianza. Qual è il problema ora? Che tanto ai matematici quanto agli studenti non piace lavorare con un'infinità di valori, allora vogliamo trovare un criterio che ci permetta di scegliere un solo maggiorante/un solo minorante. Capite bene che non è possibile fare questa scelta a caso, dobbiamo trovare qualcosa di consistente, qualcosa di sensato insomma.

 

Bene, l'ipotesi vincente è (quasi) sempre l'ipotesi più semplice: scegliamo il più piccolo maggiorante, cioè il maggiorante più vicino all'insieme che stiamo studiando. Chiamiamo questo maggiorante, che è unico grazie alla sua proprietà di essere il più piccolo, estremo superiore. Vediamo la definizione rigorosa:

 

 

Definizione (estremo superiore)

 

Sia X\subseteq\mathbb{R} un sottoinsieme dei numeri reali. y\in\mathbb{R} si dice estremo superiore dell'insieme  X se

 

1) y è un maggiorante di X;

 

2) preso un qualunque z< y si ha che z non è un maggiorante di X. (in altre parole y è il più piccolo maggiorante di X, come dicevo poco fa).

 

Per analogia troviamo la definizione di estremo inferiore, basterà cambiare verso alle disuguaglianze:

 

Definizione (estremo inferiore)

 

Sia X\subseteq\mathbb{R} un sottoinsieme dei numeri reali. y\in\mathbb{R} si dice estremo inferiore dell'insieme  X se

 

1) y è un minorante di X;

 

2) preso un qualunque z> y si ha che z non è un minorante di X. (in altre parole y è il più grande minorante di X).

 

Lo ripetiamo ancora una volta...passando dal maggiorante all'estremo superiore abbiamo guadagnato l'unicità: un insieme ha tanti maggioranti, ma un solo estremo superiore. Lo stesso discorso vale per la relazione tra minorante e estremo inferiore.

 

L'estremo superiore di un insieme X si indica con sup(X), l'estremo inferiore con inf(X).

 

Non è detto che il sup e l'inf siano sempre limitati, basta pensare al caso di un insieme costituito dal solo intervallo (2,+\infty), l'inf esiste ed è 2, anche il sup esiste, ma non è limitato! La limitatezza degli estremi caratterizza i sottoinsiemi di \mathbb{R}, cioè possiamo crearne due classi: quelli che hanno almeno un estremo limitato (almeno uno tra sup e l'inf è limitato), quelli per cui né sup inf sono limitati.

 

Definizione (insieme superiormente/inferiormente limitato)

 

Un insieme si dice superiormente/inferiormente limitato se esistono, rispettivamente l'estremo superiore e l'estremo inferiore e sono limitati.

 

Siamo finalmente arrivati alla definizione tanto cercata.

 

Definizione (massimo/minimo di un insieme)

 

Sia X\subseteq\mathbb{R}, diremo che
y\in\mathbb{R} è massimo di X se y è estremo superiore di X e y\in X.
y\in\mathbb{R} è minimo di X se y è estremo inferiore di X e y\in X.

 

In sostanza il massimo e il minimo hanno oltre alla proprietà, rispettivamente, di essere estremo superiore e inferiore, anche l'appartenenza all'insieme.

 


 

Se qualcosa non è chiaro, se vuoi che carichiamo qualche esempio o discutere di qualche caso particolare, puoi aprire una discussione nel Forum e cercare le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca. Qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi...Wink

 

\alpha

 

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