Intervalli e insiemi reali

In questo articolo parliamo degli intervalli di numeri reali e di insiemi di numeri reali presentiamo le notazioni più comuni che si utilizzano per indicarli. In parole povere spiegheremo come indicare gli intervalli di numeri in \mathbb{R} e quando usare le parentesi tonde e le parentesi quadre.

 

La nozione di intervallo è uno dei concetti più intuitivi e ricorrenti che si incontrano nell'Analisi Matematica: moltissimi dei sottoinsiemi di numeri reali che si possono considerare sono infatti intersezioni o unioni di intervalli.

 

Che tipo di insiemi sono gli intervalli

 

Intuitivamente, un intervallo I è un sottoinsieme di \mathbb{R} costituito da un continuo di punti, e per definirlo sono sufficienti due soli numeri reali, siano essi x_{1}, x_{2}, che chiameremo estremi dell'intervallo. A parole possiamo definire un intervallo di estremi x_{1}, x_{2} come il sottoinsieme dei numeri reali compresi tra gli estremi x_{1}, x_{2}. Vediamo la definizione in termini rigorosi.

 

 

Definizione (intervallo di numeri reali) 

 

Diciamo che I\subseteq\mathbb{R} è un intervallo se esistono due punti x_{1}, x_{2}\in\mathbb{R} tali che I contiene tutti i valori reali x compresi tra x_{1}\mbox{ e } x_{2}.

 

Essere più generici di così è impossibile. Tenete conto poi che qui stiamo dando per buone alcune nozioni che generalmente non vengono trattate, ma che in Analisi Matematica richiedono una trattazione molto esauriente: ad esempio il concetto di campo ordinato e di potenza del continuo. Di ciò parleremo in altri articoli un po' più specialistici.

 

Qui parliamo terra-terra, cercando però di restare rigorosi. La definizione precedente è utile per rendere l'idea di cos'è un intervallo, ma non è abbastanza specifica: gli estremi dell'intervallo appartengono all'intervallo stesso oppure no?


Si possono configurare quattro diverse situazioni, a seconda della appartenenza/non appartenenza degli estremi x_{1}, x_{2}: un intervallo reale potrà quindi essere della forma:

 

  • \left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che } x_{1}\leq x\leq x_{2} \right\} [estremi inclusi]

  • \left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che } x_{1}<x<x_{2} \right\} [estremi esclusi]

  • \left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che } x_{1}\leq x<x_{2} \right\} [estremo sinistro incluso, destro escluso]

  • \left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che } x_{1}<x\leq x_{2} \right\} [estremo sinistro escluso, destro incluso]

In ognuno di questi quattro casi è molto utile introdurre una notazione (ossia un modo standard di scrivere) che sia comoda e che permetta di indicare i generici tipi di intervalli. Cosa basta per classificare un intervallo? I suoi estremi x_{1},x_{2}. E per dire se questi sono inclusi o esclusi? Indichiamo l'inclusione con una parentesi quadra, l'esclusione con una parentesi tonda. Possiamo così riscrivere rispettivamente:

 

[x_{1},x_{2}]\ \ (x_{1},x_{2})\ \ [x_{1},x_{2})\ \ (x_{1},x_{2}]

 

Con gli intervalli si possono costruire moltissimi dei sottoinsiemi di numeri reali, ad esempio se ne possono considerare le unioni e le intersezioni finite o numerabili. In questo modo si costruiscono moltissimi sottoinsiemi che però non sono tutti i sottoinsiemi di \mathbb{R}. Per il 90% delle persone che nei loro studi, liceali o universitari, hanno a che fare con la Matematica, l'Analisi si limita ai sottoinsiemi che si ottengono in questo modo. I Matematici invece si occupano della trattazione dei sottoinsiemi di \mathbb{R} in due diversi campi: la Topologia e la Teoria della Misura, di cui però non ci occupiamo qui ed ora.

 

Un esempio per l'utilizzo delle notazioni per gli intervalli

 

Tornando a noi, un esempio pratico in cui le precedenti notazioni si riveleranno utili riguarda lo studio di funzioni, in cui è essenziale descrivere il dominio di una assegnata funzione. Esso è il più delle volte un intervallo o una unione finita di intervalli. Ad esempio, se prendiamo f(x)=\sqrt{x+2} tale funzione ha dominio x\geq -2, che indicheremo quindi con [-2,+\infty) (si noti che +\infty è escluso perchè a tutti gli effetti non è un numero reale).

 

Se consideriamo la funzione f(x)=\ln(x^2+3x+2) essa ha dominio x<-2 \vee x>-1 ed indicheremo tale insieme con (-\infty,-2)\cup(-1,+\infty).

 

Come escludere un punto da un intervallo

 

Le notazioni precedenti si rivelano utili anche nel caso in cui si debbano escludere dei singoli punti da un insieme. Consideriamo l'intervallo [x_{1},x_{2}) e supponiamo di voler escludere un generico punto c interno a tale intervallo. L'insieme che ne risulta potrà essere indicato con [x_{1},c)\cup(c,x_{2}): attenzione a come si indica l'esclusione del punto c.

 

Come esempio potremo prendere la funzione f(x)=\frac{x+1}{(x-\frac{1}{2})(x+6)}

 

In questo caso dobbiamo escludere i punti che annullano il denominatore, ossia \left\{\frac{1}{2}, -6\right\}. Il dominio di f sarà dunque dato da: Dom(f)=(-\infty,-6)\cup(-6,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty).

 

Nel prossimo articolo catalogheremo tutti i possibili intervalli di numeri reali, ne daremo le relative rappresentazioni e introdurremo la nozione di intervallo limitato e illimitato.

 

Sottoinsiemi discreti di numeri reali

 

Un particolare tipo di insieme di \mathbb{R} che capita spesso di incontrare - e che comunque rientra nella tipologia delle unioni e intersezioni finite o numerabili di intervalli - è rappresentato da quei sottoinsiemi discreti, costituiti cioè da un numero finito o numerabile di punti. Essi sono niente di più e niente di meno che insiemi del tipo

 

\left\{x_{1}, x_{2}\dots,x_{n},\right\} [insieme con n elementi]

 

\left\{x_{i}\mbox{ con }i=1,\dots,+\infty\right\} [insieme con una infinità numerabile di elementi]

 

Se non sai cosa significa numerabile? A livello elementare ti basti sapere che un insieme è numerabile se ha un numero di elementi che puoi associare in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.
Nota inoltre che per gli insiemi discreti si usano le notazioni con le parentesi graffe, e si elencano gli elementi (come abbiamo fatto sopra in entrambi i casi), oppure si specifica la proprietà che li caratterizza (utile soprattutto per gli insiemi infiniti). Le parentesi graffe e l'elenco degli elementi stanno ad indicare che i punti sono separati.

 

Potremmo ad esempio considerare gli insiemi:

 

\{1,2,3,4,5\}\subset\mathbb{R} [insieme finito]

 

\{0,1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} [numeri naturali]

 

In particolare, gli insiemi discreti possono essere costruiti mediante intersezioni e unioni di intervalli. Per vederlo, basta provare che un insieme costituito da un solo punto, sia esso \{pippo\}, si può scrivere come intersezione di intervalli. Il che è evidente...o no? Considera

 

[pippo-1,pippo]\cap[pippo,pippo+1].

 

Basterà poi prendere unioni di questo tipo di intersezioni per trovare gli insiemi discreti.

 


 

Con questo è tutto. Abbiamo una piccola base grazie alla quale potremo definire gli strumenti principali che si utilizzano nell'Analisi Matematica. Continua a leggere i nostri articoli e per qualunque cosa ti serva cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca su YM, eventualmente apri una discussione nel Forum.

 

Adjö, see you soon guys!

Agente Ω

 

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