Operazioni tra numeri complessi

Vediamo uno schema completo con tutte le definizioni e le formule per le operazioni con i numeri complessi. Partendo dalla forma algebrica mostreremo come calcolare la somma, la differenza, il prodotto e il rapporto di numeri complessi; successivamente faremo vedere come si scrivono e come si effettuano tali operazioni quando i numeri complessi sono espressi in forma trigonometrica.

 

Prima di procedere, vi ricordiamo la definizione di unità immaginaria

 

i=\sqrt{-1}

 

e dalla stessa definizione segue che

 

i^2=-1\ ;\ i^3=-\sqrt{-1}=-i\ ;\ i^4=+1

 

Operazioni tra numeri complessi in forma algebrica

 

Consideriamo due numeri complessi z,w\in\mathbb{C} dati in forma algebrica, cioè scritti come somma di parte reale e parte immaginaria:

 

z=a+ib\ ;\ w=c+id

 

le operazioni elementari in campo complesso sono definite come segue.

 

Somma di numeri complessi

 

La somma z+w è il numero complesso che ha come parte reale la somma delle parti reali, e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie

 

z+w=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)

 

Differenza di numeri complessi

 

Per calcolare la differenza dovremo procedere in modo analogo ripetto al caso della somma, infatti possiamo considerare z-w come somma tra z=a+ib e w=-c-id. Di conseguenza, la differenza di due numeri complessi è il numero complesso avente come parte reale la differenza tra le parti reali, e come parte immaginaria la differenza tra le parti immaginarie

 

z-w=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)

 

Prodotto di due numeri complessi

 

Nel caso del prodotto tra numeri complessi z\cdot w possiamo procedere con una formula diretta, nulla però ci vieta di calcolare il prodotto tra i due numeri sviluppandolo come siamo abituati a fare nel calcolo letterale

 

z\cdot w=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

 

Come abbiamo già anticipato tale formula viene dedotta sviluppando i calcoli:

 

z\cdot w=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+i(ad+bc)-bd=(ac-bd)+i(ad+bc)

 

dove nel penultimo passaggio abbiamo semplicemente riscritto il quadrato dell'unità immaginaria come i^2=-1, infatti

 

i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(\sqrt{(-1)})^2=-1.

 

Rapporto di due numeri complessi

 

Come nel caso del prodotto, disponiamo di una comoda formula anche per calcolare il rapporto \frac{z}{w} e scriverlo in forma algebrica. È però molto più utile capire il modus operandi piuttosto che imparare la formula a memoria, così almeno quando ci troveremo di fronte ai calcoli negli esercizi non avremo dubbi su come comportarci. Wink

 

\frac{z}{w}=\frac{a+ib}{c+id}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}

 

UHM, forse non è poi così comoda...dunque vediamo: calcolare il rapporto tra i numeri complessi z e w significa scrivere il numero \frac{z}{w} come somma di una parte reale e di una parte immaginaria moltiplicata per i, cioè nella forma \frac{z}{w}=x+iy. Non sappiamo di preciso come siano x,y.

 

L'unico modo per farlo consiste nell'eliminare la componente immaginaria presente a denominatore, in modo da poter dividere il numeratore termine a termine. Perché? Molto semplicemente, perché quest'operazione possiamo svolgerla solo se il denominatore è reale!

 

Ricordando che i^2=-1 possiamo fare riferimento ad un noto prodotto notevole

 

(m+n)(m-n)=m^2-n^2

 

e moltiplicare e dividere la frazione per c-id, in modo da sfruttare il prodotto notevole appena scritto

 

\frac{z}{w}=\frac{a+ib}{c+id}=\frac{a+ib}{c+id}\frac{c-id}{c-id}=\frac{ac-iad+ibc-i^2bd}{c^2-i^2d^2}=

 

dato che i^2=-1

 

=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}

 

Nota bene: nella penultima uguaglianza la parte immaginaria a denominatore è magicamente scomparsa!

 

Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica

 

Ripercorriamo lo schema precedete e vediamo come effettuare le operazioni in campo complesso quando i numeri z,w\in\mathbb{C} sono espressi in forma trigonometrica, cioè come

 

z=r_1[\cos{(\theta_1)}+i\sin{(\theta_1)}]\ ;\ w=r_2[\cos{(\theta_2)}+i\sin{(\theta_2)}].

 

 

Per quanto riguarda somma e differenza, si tratta di scrivere i due numeri in forma estesa moltiplicando il modulo per i due addendi tra parentesi

 

z=r_1\cos{(\theta_1)}+i r_1\sin{(\theta_1)}

 

w=r_2\cos{(\theta_2)}+i r_2\sin{(\theta_2)}.

 

e di procedere in modo del tutto analogo a quello visto nel caso dei numeri in forma algebrica. Dovremo solamente sommare o sottrarre, a seconda dei casi, le parti reali e le parti immaginarie tra loro.

 

 

Il calcolo di prodotto e rapporto, invece, si effettua mediante due utilissime formule che si dimostrano una volta per tutte e che ci permettono di risparmiare parecchi conti:

 

- prodotto: z\cdot w=r_1[\cos{(\theta_1)}+i\sin{(\theta_1)}]\cdot r_2[\cos{(\theta_2)}+i\sin{(\theta_2)}=

=r_1r_2[\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)}]

 

- rapporto: \frac{z}{w}=\frac{r_1[\cos{(\theta_1)}+i\sin{(\theta_1)}]}{r_2[\cos{(\theta_2)}+i\sin{(\theta_2)}]}=\frac{r_1}{r_2}[\cos{(\theta_1-\theta_2)}+i\sin{(\theta_1-\theta_2)}]

 

 

Le dimostrazioni ve le lasciamo per esercizio, e vi diamo una traccia per farle. Casomai non doveste riuscirci, non esitate e aprite una discussione nel Forum. Wink

 

Nel caso del prodotto si moltiplicano i due fattori termine a termine e si sfruttano le formule trigonometriche per la somma degli angoli; nella dimostrazione della formula del rapporto si dovrà eliminare la parte immaginaria a denominatore motliplicando e dividendo la frazione per \cos{(\theta_2)}-i\sin{(\theta_2)}. Fatto ciò si dovranno applicare le formule trigonometriche per la differenza di angoli e l'identità fondamentale della Trigonometria.

 

In alternativa si può osservare che scrivendo i due numeri complessi z,w in forma esponenziale

 

z=r_1e^{i\theta_1}\ ;\ w=r_2e^{i\theta_2}

 

si può procedere effettuando calcoli standard

 

z\cdot w=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2 e^{i\theta_2}=r_{1}r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}

 

\frac{z}{w}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

 

e applicare l'identità di Eulero per arrivare ai risultati desiderati

 

e^{iA}=\cos{(A)}+i\sin{(A)}

 

A proposito: se vi doveste imbattere nella somma o nella differenza di numeri complessi scritti in forma esponenziale, vi consigliamo spassionatamente di passare prima dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica o dalla forma esponenziale alla forma algebrica, e poi di svolgere l'operazione richiesta... Wink

 

 

Per chiudere in bellezza la lezione (e per non farvi mancare proprio nulla), vi rimandiamo a degli approfondimenti con relativi esempi:

 

- somma di numeri complessi

- differenza di numeri complessi

- prodotto di numeri complessi

- divisione tra numeri complessi

 

 


 

Se volete vedere esempi o esercizi svolti, ma anche se avete dubbi, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca qui su YM. Abbiamo risposto a migliaia e migliaia di domande, quindi con ogni probabilità abbiamo già risolto il vostro problema...ma se così non fosse, potrete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Vale, see you soon guys!

Agente Ω

 

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