Modulo e argomento di un numero complesso

Occhio! State per leggere una brevissima ma fondamentale lezione in cui spieghiamo come calcolare il modulo e l'argomento di un numero complesso. Il metodo è fortunatamente semplice e maledettamente importante, perché nel 75% degli esercizi con i numeri complessi vi troverete a dover calcolare modulo e argomento di un qualche z\in\mathbb{C}...

 

...dunque occhi aperti!

 

L'unico caso non banale si presenta quando abbiamo un numero complesso in forma algebrica, scritto cioè come somma di parte reale e parte immaginaria

 

z=a+ib

 

 

Nel caso della rappresentazione trigonometrica o della forma esponenziale di z non vi sarebbe alcun calcolo da fare, perché tali rappresentazioni fornirebbero esplicitamente sia il modulo che l'argomento considerato:

 

- trigonometrica: z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})\ \to\ modulo: r, argomento \theta;

 

- esponenziale: z=re^{i\theta}\ \to\ modulo: r, argomento \theta.

 

Le formule che daremo tra poco sono più che altro da intendersi come definizioni e come formule propedeutiche che ci permetteranno, tra l'altro, di passare dalla forma algebrica alla forma esponenziale o dalla forma algebrica a quella trigonometrica.

 

Modulo di un numero complesso

 

Dato un numero complesso z\in\mathbb{C} in forma algebrica

 

z=a+ib

 

dove Re(z)=a,\ Im(z)=b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z, definiamo il modulo di z come

 

r:=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

 

Argomento di un numero complesso

 

Continuando con le notazioni adottate in precedenza, definiamo l'argomento di z come il numero \theta:=Arg(z)\in (-\pi,+\pi] dato da

 

\theta:=Arg(z)=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b>0\\ -\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \mbox{non definito se }a=0,\ b=0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\mbox{ se }a>0,\ b\mbox{ qualsiasi}\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+\pi\mbox{ se }a<0,\ b\geq 0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}-\pi\mbox{ se }a<0,\ b< 0 \end{cases}

 

L'argomento di un numero complesso può anche essere definito, in alternativa, nell'intervallo (0,2\pi]. È una scelta del tutto arbitraria, solo che in questo caso le precedenti formule si modificano un po':

 

\theta:=Arg(z)=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b>0\\ \frac{3\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \mbox{ non definito se }a=0,\ b=0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\mbox{ se }a>0,b\ge 0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+2\pi\mbox{ se }a>0,\ b<0\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi\mbox{ se }a<0, \ b \mbox{ qualsiasi}\end{cases}

 

Diffidate dunque da chi vi dovesse dire che l'argomento di un numero complesso si calcola come

 

\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right) \to \mbox{ Errato!!}

 

Le formule corrette sono quelle che abbiamo scritto in precedenza e, per chi fosse interessato, ne spiegheremo il motivo qui di seguito.

 

Supponiamo di lavorare nell'intervallo (-\pi, \pi]. Affermare che l'argomento di un numero complesso è dato da

 

\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right) \ \forall \theta \in (-\pi, \pi]

 

è quanto mai errato! Infatti, a parte il fatto che la formula precedente non ha significato se a=0, la funzione tangente è invertibile solo per x\in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) quindi la formula precedente è valida solo per

 

\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

 

ossia per i numeri complessi aventi parte reale strettamente positiva.

 

Nel caso in cui a<0 (secondo o terzo quadrante), ricordando che l'arcotangente è una funzione periodica di periodo \pi, i valori che assume nel secondo quadrante coincidono coi i valori da essa assunti nel quarto e, allo stesso modo, i valori che assume nel terzo e nel primo quadrante coincidono.

 

Di conseguenza se ci trovassimo nel secondo quadrante (ossia se il numero complesso ha parte reale negativa e parte immaginaria positiva) dovremmo aggiungere al valore

 

\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)

 

un angolo piatto, ossia +\pi.

 

Se invece ci trovassimo nel terzo quadrante dovremmo sottrarre un angolo piatto. Prestate molta attenzione! Il discorso è del tutto analogo se ci proponiamo di lavorare nell'intervallo (0,2\pi].

 

Ora non dovrebbero esserci più dubbi sul calcolo di modulo ed argomento di un numero complesso , per cui passiamo a vedere cosa rappresentano da un punto di vista grafico.

 

Che cosa rappresentano il modulo e l'argomento di un numero complesso?

 

Per rispondere a questa domanda ci basta fare riferimento alla rappresentazione di un numero complesso nel piano di Argand Gauss. Partendo dalla definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali, abbiamo visto che ad ogni numero complesso in forma cartesiana z=a+ib è possibile possibile associare uno ed un solo punto del piano cartesiano, il punto avente coordinate cartesiane (a,b)

 

 

Numero complesso nel piano di Argand Gauss

 

 

Per come sono definiti, il modulo del numero complesso z rappresenta la lunghezza del segmento che congiunge z e l'origine del piano di Argand Gauss; l'argomento di z invece è l'angolo formato dal raggio vettore OP rispetto al semiasse delle parti reali positive.

 

 

Significato geometrico di modulo e argomento di un numero complesso

 

 

Si capisce quindi, tra l'altro, per quale motivo l'argomento sia definito sull'intervallo (0,2\pi] o su (-\pi,\pi]: prendendo r>0 \mbox{ e } \theta in uno dei due precedenti intervalli siamo in grado di individuare univocamente un qualsiasi punto z\in C !

 

 

Esempio

 

Calcoliamo il modulo e l'argomento di z=-3+3i, e diamone una rappresentazione geometrica.

 

Svolgimento: per individuare il punto z nel piano di Argand Gauss la parte reale e quella immaginaria sono più che sufficienti, infatti basta ragionare come nel piano cartesiano e segnare il punto di ascissa a=-3 e ordinata b=+3.

 

 

Esempio di rappresentazione di un numero complesso nel piano di Gauss

 

Per calcolare modulo e argomento di -3+3i decidiamo a priori di lavorare nell'intervallo di argomenti (-\pi,\pi]:

 

|-3+3i|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}

 

e (attenzione ai segni di parte reale e parte immaginaria!)

 

Arg(-3+3i)=\arctan{\left(\frac{3}{-3}\right)}+\pi=\arctan{(-1)}+\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}

 

Ha senso quel che abbiamo scritto? Pare proprio di sì, perché facendo riferimento al significato geometrico di modulo e argomento vediamo che...

 

 

Esempio su modulo e argomento di un numero complesso

 

 

In merito alle formule per il calcolo dell'argomento, facciamo notare ai più diffidenti che se avessimo utilizzato la formula errata

 

\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)

 

avremmo trovato

 

\theta=\arctan\left(\frac{-1}{1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}

 

risultato evidentemente sbagliato, in quanto ci saremmo trovati nel quarto quadrante.

 

 


 

Se dovessero esserci problemi, dubbi o domande vi basti sapere che avete a disposizione decine di migliaia di esercizi che abbiamo spiegato e risolto: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca...e se ancora non bastasse, sarete sempre liberi di aprire una discussione nel Forum!

 

Adiaŭ, see you soon guys!

Agente Ω

 

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