Formula di De Moivre

In questo articolo ci occupiamo di una delle operazioni base che può capitare di dover svolgere in campo complesso: l'elevamento a potenza. A tal proposito esiste una formula di semplice applicazione - la formula di De Moivre - che utilizzeremo ogni volta che dovremo calcolare una potenza di un numero complesso ad esponente intero.

 

Potenze di numeri complessi con la formula di De Moivre

 

Oltre che negli esercizi creati ad hoc (quelli ideati appositamente per far applicare la formuletta) la formula di De Moivre torna molto utile nella risoluzione delle equazioni in campo complesso e più in generale nella risoluzione algebrica dei vari esercizi in \mathbb{C}.

 

Per poter applicare la formula di De Moivre dovremo innanzitutto avere un numero complesso in forma trigonometrica o in forma esponenziale. E se avessimo a che fare con un numero complesso in forma algebrica? Vale la pena di distinguere diversi casi...

 

 

1) Vogliamo calcolare z^n, con z\in\mathbb{C}, dove z è scritto in forma algebrica ovvero sia nella forma z=a+ib. In tal caso dovremo calcolare modulo e argomento di z, rispettivamente r,\theta, per poi esprimerlo in forma trigonometrica

 

z=r[\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}]

 

o in forma esponenziale

 

z=re^{i\theta}

 

Fatto ciò, potremo passare al punto 2) o al punto 3).

 

 

2) Se il numero complesso è dato (o lo abbiamo riscritto) in forma trigonometrica

 

z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

 

applichiamo direttamente la formula di De Moivre

 

z^n=r^n(\cos{(n \theta)}+i\sin{(n \theta)}).

 

 

3) Se invece abbiamo (riscritto) il numero complesso in forma esponenziale

 

z=re^{i\theta}

 

allora la formula di De Moivre è ancor più immediata rispetto al caso 2)

 

z^n=r^ne^{i n\theta}.

 

Si noti che le formulazioni proposte in 2) e in 3) sono del tutto equivalenti, alla luce della formula di Eulero

 

e^{i\theta}=\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}

 

da cui

 

e^{i n \theta}=\cos{(n \theta)}+i\sin{(n \theta)}

 

Osservazione: l'elevamento a potenza di un numero complesso comporta un elevamento a potenza del modulo del numero complesso ( r\to r^n ), mentre produce nell'argomento una dilatazione ( \theta\to n\theta ).

 

 

Osservazione stupida, ma importante: nel caso di potenze con esponente "piccolo" e di numeri complessi espressi in forma algebrica, come ad esempio n=2 o n=3, nulla ci vieta di sviluppare i conti "a mano"; avendo ben presente come si calcolano le potenze dell'unità immaginaria avremo

 

(a+ib)^2=a^2+i2ab-b^2

(a+ib)^3=a^3+3a^2ib-3ab^2-ib^3

 

Per potenze di grado superiore lo sviluppo diretto sarebbe un massacro Sealed e in questi casi è cosa buona e giusta fare affidamento alla formula di De Moivre.

 

Esempio di applicazione della formula di De Moivre

 

Calcoliamo la potenza z^5 del numero complesso z=1+i.

 

 

Svolgimento: cominciamo con il modulo di z:

 

r=| 1+i |=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

 

poi passiamo all'argomento; prima di procedere osserviamo che siamo nel primo quadrante del piano complesso in quanto parte reale e parte immaginaria di z sono strettamente positivi. Quindi il valore dell'argomento, in questo caso specifico, non dipende dal suo insieme di definizione.

 

\theta=Arg(1+i)=\arctan{(1)}=\frac{\pi}{4}

 

Scriviamo il numero complesso in forma trigonometrica

 

1+i=\sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)

 

e concludiamo calcolandone la potenza quinta

 

(1+i)^5=\sqrt{2^5}\left(\cos{\left(\frac{5 \pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{5 \pi}{4}\right)}\right)=2^{\frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=-4-4i

 

 


 

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Agente Ω

 

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