Radici di un numero complesso

Continuiamo con l'esposizione delle operazioni base in campo complesso, e vediamo la formula per calcolare le radici di un numero complesso. A differenza del campo reale, in cui ad esempio la radice quadrata di un numero negativo non esiste, quando calcoliamo le radici n-esime di un z\in\mathbb{C} abbiamo sempre a che fare con n radici n-esime.

 

Come calcolare le radici di un numero complesso

 

Supponiamo di voler determinare le n radici n-esime di un numero complesso z\in\mathbb{C}. Per farlo ci servirà una formula che deriva direttamente dalla formula di De Moivre, e ancor prima dovremo scrivere z in forma trigonometrica. Vediamo una rapida scaletta che ci permetta di calcolare le radici \sqrt[n]{z} in qualsiasi caso.

 

 

1) Dobbiamo scrivere z in forma trigonometrica, cioè come

 

(*)\ z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

 

dove r,\theta indicano rispettivamente il modulo e l'argomento del numero complesso z. Di conseguenza il primo passo dipenderà da come è dato z, ma in ogni caso ci basterà saperne calcolare modulo e argomento.

 

 

1.a) Se z è scritto in forma algebrica

 

z=a+ib

 

ne calcoliamo modulo e argomento, rispettivamente r,\theta con r>0 e \theta\in (0,2\pi] \mbox{ oppure } \theta \in (-\pi, \pi], e lo scriviamo nella forma (*).

 

 

1.b) Se z è definito in forma esponenziale possiamo passare alla forma (*) senza fare neanche mezzo calcolo, perché disponiamo già di r,\theta ! Un numero in forma esponenziale è infatti dato nella forma

 

z=r e^{i\theta}

 

 

1.c) Se z è in forma trigonometrica passiamo direttamente al punto 2). :)

 

 

2) Partendo dalla scrittura

 

z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

 

applichiamo la seguente formula

 

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right)

 

dove k è un numero intero che varia tra \{0,1,...,(n-1)\}. Al variare di k la formula per le radici del numero complesso α descrive tutte le n radici n-esime di α.

 

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta}{n}\right)}\right)

 

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2\pi}{n}\right)}\right)

 

\vdots

 

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2(n-1)\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}\right)}\right)

 

 

3) Beviamoci un caffé, non c'è nient'altro da fare. Laughing

 

 

Si noti che applicando la formula di De Moivre alle n radici \sqrt[n]{z} scritte sopra, e calcolandone le potenze n-esime, ricaviamo proprio z.

 

Esempio di calcolo delle radici n-esime di un numero complesso

 

Proviamo a calcolare a titolo esemplificativo tutte le radici quarte di z=3+i\sqrt{3} in \mathbb{C}. Prima di tutto dobbiamo determinare il modulo di z

 

r=|z|=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}

 

Poi passiamo all'argomento. Dal momento che siamo nel primo quadrante del piano di Argand Gauss (parte reale e parte immaginaria del numero complesso sono strettamente positivi) il calcolo dell'argomento, in questo caso specifico, non dipende dall'intervallo di definizione dell'angolo \theta.

 

\theta=Arg(z)=\arctan{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}=\frac{\pi}{6}

 

e siamo pronti per esprimere z in forma trigonometrica

 

z=2\sqrt{3}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}\right)

 

A questo punto possiamo applicare la formula vista in precedenza, dunque prendiamo n=4 e scriviamo

 

\sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{6} +2k\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{4}\right)}\right)

 

Se vogliamo scrivere esplicitamente ciascuna delle quattro radici

 

\sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{24}\right)}\right)

 

\sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{13 \pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{13 \pi}{24}\right)}\right)

 

\sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{25 \pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{25 \pi}{24}\right)}\right)

 

\sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{37 \pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{37 \pi}{24}\right)}\right)

 

e abbiamo finito! Possiamo lasciare le radici scritte nella forma precedente perché gli angoli coinvolti non sono notevoli. Wink

 

 


 

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