Coniugato di un numero complesso

Il coniugato di un numero complesso z, indicato con il simbolo z, è per definizione il numero complesso avente la stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto rispetto a z. Più esplicitamente, detto z=a+ib, il coniugato complesso è dato da z=a-ib.

 

Qui di seguito forniremo la definizione di coniugato complesso, inteso come risultato di un'operazione in \mathbb{C} che associa ad ogni numero complesso un altro numero complesso opportunamente definito.

 

Nel prosieguo della spiegazione ci soffermeremo su alcuni esempi di calcolo, sull'interpretazione geometrica del coniugato e sulle principali proprietà che lo contraddistinguono.

 
 
 

Definizione di coniugato complesso

 

Come abbiamo già anticipato nell'introduzione, si definisce complesso coniugato di un numero complesso z il numero complesso ottenuto cambiando il segno alla parte immaginaria di z.

 

In riferimento alla forma algebrica, se chiamiamo a,b rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z, il coniugato complesso di z sarà

 

\\ z=a+ib\ \ \ \to\ \ \ \overline{z}=a-ib\\ \\ \mbox{Re}(\overline{z})=\mbox{Re}(z)\\ \\ \mbox{Im}(\overline{z})=-\mbox{Im}(z)

 

In particolare il coniugato di un numero complesso si indica con il simbolo z, ma non di rado alcuni libri di testo lo riportano con i simboli z^* oppure con la notazione esplicita \mbox{conj}(z)

 

\overline{z}\ \ \ ;\ \ \ z^*\ \ \ ;\ \ \ \mbox{conj}(z)

 

Per un numero complesso in forma trigonometrica risulterà in modo ovvio

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]\ \ \ \to\ \ \ \overline{z}=r[\cos(\theta)-i\sin(\theta)]

 

Se il numero complesso z è dato in forma esponenziale, il suo coniugato è il numero complesso avente il medesimo modulo e argomento di segno opposto

 

\\ z=re^{i\theta}\ \ \ \to\ \ \ \overline{z}=re^{-i\theta}\\ \\ |\overline{z}|=|z|\\ \\ \mbox{Arg}(\overline{z})=-\mbox{Arg}(z)

 

 

Definizione equivalente di coniugato complesso

 

Facendo riferimento alla forma trigonometrica dei numeri complessi, si capisce facilmente che il coniugato complesso di z può anche essere definito come il numero complesso avente lo stesso modulo di z e argomento di segno opposto.

 

La dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni è immediata e discende dalle formule trigonometriche per angoli associati. Se consideriamo

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

e ne consideriamo il coniugato secondo la prima definizione

 

\overline{z}=r[\cos(\theta)-i\sin(\theta)]

 

D'altra parte la funzione seno è una funzione dispari, mentre la funzione coseno è pari

 

\\ \sin(-\theta)=-\sin(\theta)\\ \\ \cos(\theta)=\cos(-\theta)

 

Di conseguenza

 

\overline{z}=r[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]

 

e abbiamo dimostrato che il coniugato di un numero complesso ha il medesimo modulo e argomento opposto. Ripercorrendo la dimostrazione al contrario si giunge all'equivalenza delle due definizioni.

 

Esempi sul coniugato di un numero complesso

 

Vediamo ora alcuni esempi sul calcolo del coniugato di un numero complesso.

 

1) Dato il numero

 

z=1-3i

 

il suo coniugato avrà la medesima parte reale

 

\mbox{Re}(\overline{z})=\mbox{Re}(z)=1

 

Attenzione alla parte immaginaria: per definizione la forma algebrica è del tipo z=a+ib, dove \mbox{Re}(z)=a,\ \mbox{Im(z)}=b sono entrambi numeri reali. Nel nostro caso

 

\mbox{Im}(z)=-3\ \ \to\ \ \mbox{Im}(\overline{z})=-(-3)=3

 

Dunque

 

\overline{z}=1-(-3)i=1+3i

 

 

2) Nel caso della forma trigonometrica e della rappresentazione esponenziale si ragiona allo stesso modo:

 

\bar{z}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}

 

è il coniugato del numero complesso in forma esponenziale

 

z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}

 

e per capirlo basta considerare l'opposto dell'argomento di z:

 

\mbox{Arg}(z)=\frac{\pi}{4}\ \ \to\ \ \mbox{Arg}(\overline{z})=-\mbox{Arg}(z)=-\frac{\pi}{4}

 

Significato geometrico del complesso coniugato

 

In riferimento alla rappresentazione dei numeri complessi nel piano di Argand-Gauss è facile intuire che, da un punto di vista geometrico, il coniugato di un numero complesso è il simmetrico rispetto all'asse x (o meglio, all'asse reale) del numero dato.

 

 

Complesso coniugato

Significato geometrico del complesso coniugato.

 

Proprietà del coniugato di un numero complesso

 

Le proprietà del complesso coniugato sono formule che caratterizzano l'operazione di coniugio, che per come è stata definita è un'operazione unaria (a una singola entrata, a differenza delle operazioni binarie cui siamo solitamente avvezzi). Tali proprietà sono di semplice dimostrazione e sono molto utili nella pratica, per cui è opportuno non sottovalutarle. ;)

 

Riepiloghiamo i simboli matematici che utilizzeremo. Indichiamo con:

 

z un qualsiasi numero complesso;

 

\overline{z} il suo coniugato;

 

\mbox{Re}(z) la parte reale del numero complesso z e con

 

\mbox{Im}(z) la sua parte immaginaria.

 

 

P-1) Il coniugato di un numero reale è uguale al numero stesso

 

z=\overline{z} \iff z \in \mathbb{R}

 

 

P-2) La somma tra un numero complesso ed il suo coniugato è uguale a due volte la parte reale

 

z+\overline{z}=2\mbox{Re}(z)

 

 

P-3) La differenza tra un numero complesso ed il suo coniugato è pari alla parte immaginaria moltiplicata per 2i, dove i rappresenta l'unità immaginaria

 

\ z-\overline{z}=2i\mbox{Im}(z)

 

 

P-4) Il prodotto tra un numero ed il suo coniugato è uguale al quadrato del modulo

 

z\overline{z}=|z|^2

 

 

P-5) L'inverso del coniugato è uguale al coniugato dell'inverso

 

(\overline{z})^{-1}=\overline{z^{-1}}

 

 


 

È tutto! In caso di dubbi, problemi o perplessità potete trovare le risposte che vi servono utilizzando la barra di ricerca interna, per il resto sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: come calcolare il coniugato di un numero complesso - esempi sul coniugato complesso di un numero.