Teorema fondamentale dell'Algebra

In questo articolo ci occuperemodel teorema fondamentale dell'Algebra e, soprattutto, vedremo quali sono le sue conseguenze.

 

Prima di entrare nel vivo dell'argomento è necessario avere ben chiaro cos'è un polinomio e soprattutto ricordare due semplici ma basilari definizioni che daremo per scontate nel corso della lezione.

 

Radice di un polinomio: dato un polinomio p(x) a coefficienti reali o complessi, diremo che a \in \mathbb{C} è una sua radice (o un suo zero) se p(a)=0.

 

Ad esempio a=2 è una radice del polinomio p(x)=x^3-5x^2+11x-10, infatti

 

p(2)=2^3-5\cdot (2^2)+11\cdot 2 - 10 = 8-20+22-10 = 0

 

 

Molteplicità di una radice: consideriamo ancora un polinomio p(x) a coefficienti reali o complessi e sia n un numero naturale maggiore o uguale a 1.

 

Si dice che a è una radice di p(x) con molteplicità n se e solo se p(x) è divisibile per (x-a)^n ma non è divisibile per (x-a)^{n+1}.

 

Così, ad esempio a=0 è una radice con molteplicità 3 del polinomio p(x)=x^5-x^3. Per rendersene conto basta effettuare un raccoglimento totale e scrivere

 

p(x)=x^5-x^3=x^3(x^2-1)=x\cdot x \cdot x \cdot (x^2-1).

 

In questo modo dovrebbe risultare evidente che a=0 annulla per ben 3 volte il polinomio dato ossia è uno zero con molteplicità tre.

 

Siamo ora pronti per enunciare e vedere le conseguenze del teorema fondamentale dell'Algebra.

 

Il teorema fondamentale dell'Algebra

 

Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale ad 1, ammette almeno una radice complessa.

 

In altri termini, dato un qualsiasi polinomio

 

p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0 \mbox{ con } n\ge 1

 

siamo sicuri, in virtù del teorema fondamentale dell'Algebra, che esso avrà almeno una radice complessa.

 

Attenzione che il teorema assicura l'esistenza, lo ripeteremo fino alla nausea, di almeno una radice appartenente all'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi. Con questo vogliamo dirvi che, in generale, il teorema fondamentale dell'algebra non ha validità nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali. Per convincersene basta considerare il polinomio

 

p(x)=x^2+4

 

che, sebbene sia un polinomio a coefficienti reali non ammette radici reali; infatti l'equazione di secondo grado ad esso associata, x^2+4=0 ha discriminante negativo.

 

Dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra

 

Dopo l'enunciato di un teorema uno si aspetta la dimostrazione ma, purtroppo, sebbene esistano svariate dimostrazioni del teorema fondamentale dell'Algebra nessuna di esse sarà comprensibile a studenti liceali o a chi abbia seguito i primi corsi di Analisi Matematica. Bisogna infatti ricorrere a strumenti che solitamente si affrontano nei corsi di Analisi Complessa.

 

Se avete già seguito tale corso o pensate di avere le conoscenze adatte per comprenderla: dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra - click!

 

Conseguenze del teorema fondamentale dell'Algebra

 

1) Ricordando che l'insieme dei numeri complessi è un campo e che un campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti nel campo ammette almeno una radice che vi appartiene, per il teorema fondamentale dell'Algebra possiamo concludere che il campo \mathbb{C} dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

 

 

2) Un'altra significativa conseguenza del teorema fondamentale dell'Algebra è in realtà un suo corollario, talmente importante che spesso, in alcuni libri di testo, lo si riporta proprio con il nome di teorema fondamentale dell'Algebra ma in realtà, lo ribadiamo ancora una volta, è solo un suo corollario. Vediamo cosa dice.

 

Corollario del teorema fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n \ge 1 ammette, in \mathbb{C}, esattamente n radici contate con la loro molteplicità.

 

Prima di darvene la dimostrazione (questa è relativamente semplice) cerchiamo di capire cosa ci sta dicendo questo corollario e, soprattutto, cerchiamo di cogliere la sua grande utilità.

 

Finché abbiamo a che fare con polinomi di grado due o con polinomi facilmente scomponibili è un gioco da ragazzi trovare le loro radici e quindi contarle. Ad esempio, per sapere quante radici ha il polinomio

 

p(x)=x^4+x^2

 

basta risolvere l'equazione scomponibile

 

x^4+x^2=0 \iff x^2(x^2+1)=0

 

ed applicare la legge di annullamento del prodotto così da avere

 

x^2=0 \mbox{ oppure } x^2+1=0

 

Ci siamo così ricondotti a due equazioni di secondo grado:

 

\bullet \ x^2=0 \iff x_1=x_2=0

 

(ossia x=0 è una radice del polinomio con molteplicità 2)

 

\bullet \ x^2+1=0 \iff x_3=i \ \vee \ x_4=-i

 

dove i indica l'unità immaginaria.

 

Dal momento che, come visto nella lezione introduttiva sui numeri complessi, ogni numero reale è un particolare numero complesso avente parte immaginaria nulla, il polinomio dato ha un totale di 4 radici complesse, tante quant'è il grado del polinomio p(x)=x^4+x^2.

 

Se però adesso vi chiedessimo di dirci quante radici ha il polinomio

 

p(x)=x^{10}+9x^9-7x^6-\sqrt{2}x^5-\frac{3}{2}x^3+12

 

sarebbe da matti anche solo pensare di procedere a calcolarle (per poi contarle). Ed ecco allora che ora apprezzerete l'utilità del corollario del teorema fondamentale dell'Algebra: poiché il polinomio dato ha grado n=10 esso avrà, in \mathbb{C}, esattamente 10 radici (contate con la loro molteplicità).

 

 


 

 

Anche il corollario, così come detto per il teorema fondamentale, vale a patto di lavorare nell'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi.

 

Se si lavora nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali e vi si chiede quante radici ha un polinomio di grado n \ge 1 l'unica risposta che possiamo dare è che ha al massimo n radici dove con "al massimo" intendiamo che non possiamo esprimere con esattezza il loro numero, ossia potrebbe avere da 0 ad n radici reali, nessuno può dirlo con esattezza senza procedere al calcolo diretto.

 

L'unica eccezione è fatta per i polinomi a coefficienti reali di grado dispari. Infatti poiché le eventuali radici complesse di un polinomio a coefficienti reali si presentano come coppie di complessi coniugati (risultato assicurato da un teorema), se un polinomio a coefficienti reali ha grado dispari almeno una radice sarà reale, ma questo è solo un caso particolare.

 

Dimostrazione del corollario del teorema fondamentale dell'Algebra

 

Dopo averne apprezzato l'utilità vogliamo ora dimostrare il corollario prima enunciato.

 

Consideriamo un polinomio di grado n \ge 1:

 

p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0 \mbox{ con } n\ge 1

 

Vogliamo dimostrare che esso ha esattamente n radici contate con la loro molteplicità.

 

Per il teorema fondamentale dell'algebra p(x) ha almeno una radice complessa. Sia tale radice x_1 \in \mathbb{C}. Allora per il teorema di Ruffini il binomio (x-x_1) divide il polinomio p(x), ossia

 

p(x)=(x-x_1)\cdot g(x)

 

dove g(x) è un polinomio di grado n-1. Ancora, per il teorema fondamentale dell'Algebra, anche g(x) avrà almeno una radice complessa; detta x_2 \in \mathbb{C} tale radice abbiamo che

 

p(x)=(x-x_1)\cdot \underbrace{(x-x_2) \cdot q(x)}_{g(x)}.

 

con q(x) polinomio di grado n-2. Procedendo con lo stesso ragionamento per altre n-2 volte abbiamo che

 

p(x)=(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_n)

 

Abbiamo così dimostrato l'asserto.

 

 


 

Siamo giunti al termine di questa intensa ma importantissima lezione. Nel corso dei vostri studi farete tantissime volte ricorso al teorema fondamentale dell'Algebra e soprattutto al suo corollario, quindi è bene avere ben chiaro di cosa si stia parlando. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente


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