Dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale e viceversa

Passare dalla rappresentazione trigonometrica a quella esponenziale di un numero complesso e viceversa, cioè ricavare la forma esponenziale partendo da quella trigonometrica è uno dei compiti più semplici che possano capitarci negli esercizi.

 

Proprio per questo troverete raramente esercizi sui numeri complessi che vi chiedano espressamente di passare dall'una all'altra forma. Il più delle volte saremo noi a dover effettuare questa operazione di passaggio solo per questioni pratiche.

 

Occhi ben aperti! Spesso le cose semplici vengono sottovalutate ed ecco spuntare alcuni errori che potrebbero poi compromettere l'eventuale prosieguo dell'esercizio. Uno degli intenti di questa lezione consiste anche nel mettervi in guardia dal commettere uno tra gli errori di distrazione più comuni nel passaggio dalla rappresentazione trigonometrica a quella esponenziale.

 

Passaggio dalla forma esponenziale a quella trigonometrica

 

Ricordiamo che per ogni numero reale \theta \in \mathbb{R} vale la seguente uguaglianza, conosciuta col nome di identità di Eulero:

 

e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)

 

dove i è l'unità immaginaria.

 

Un numero complesso in forma esponenziale si presenta nella forma

 

z=re^{i\theta}

 

che, in virtù dell'identità di Eulero, può essere riscritta come

 

z=re^{i\theta}=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

ottenendo così proprio la rappresentazione in forma trigonometrica. Tutto qui!

 

Esempi di passaggio dalla forma esponenziale a quella trigonometrica

 

1) La forma trigonometrica del numero complesso z=3e^{\frac{2}{3}\pi i} è

 

z=3\left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)\right]

 

 

2) Dimostrare che

 

z=\sqrt{5}\left[\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\right]

 

è la rappresentazione trigonometrica del numero complesso

 

z=\sqrt{5}e^{-\frac{\pi}{5}i}.

 

 

Svolgimento: grazie all'identità di Eulero abbiamo

 

z=\sqrt{5}e^{-\frac{\pi}{5}i}=\sqrt{5}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{5}\right)\right]

 

Inoltre, essendo la funzione coseno una funzione pari e la funzione seno una funzione dispari, abbiamo

 

\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)

 

\sin\left(-\frac{\pi}{5}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)

 

Quindi

 

z=\sqrt{5}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{5}\right)\right]=\sqrt{5}\left[\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\right]

 

Passaggio dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale

 

Badate bene che l'identità di Eulero è un'uguaglianza, cioè può essere letta anche nel verso opposto, ossia:

 

\cos(\theta)+i\sin(\theta)=e^{i\theta} \ \forall \theta \in \mathbb{R}

 

Risulta così evidente che anche il passaggio dalla rappresentazione trigonometrica a quella esponenziale è a dir poco immediato.

 

Esempio di passaggio dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale

 

Qual è la forma esponenziale del numero complesso z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)-i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right] ?

 

 

Svolgimento: qui chi è non è ben attento cade in errore! L'apparente semplicità dell'argomento può trarre in inganno ed ecco spuntare la classica risposta errata:

 

z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)-i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right]=\frac{1}{2}e^{\frac{5}{4} \pi i} \to \mbox{Errato!}

 

Il problema è che nella rappresentazione trigonometrica data c'è un segno meno che precede l'unità immaginaria:

 

z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right){\color{red}-}i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right]

 

e che l'identità di Eulero, così come l'abbiamo riportata, è

 

\cos(\theta){\color{red}+}i\sin(\theta)=e^{i\theta} \ \forall \theta \in \mathbb{R}

 

Come dobbiamo procedere? sfruttare la parità e la disparità delle funzioni seno e coseno per poter scrivere

 

z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right){\color{red}-}i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\cos\left(-\frac{5}{4}\pi\right){\color{red}+}i\sin\left(-\frac{5}{4}\pi\right)\right]

 

Questo piccolo ma efficace stratagemma ci permette di scrivere la forma esponenziale corretta

 

z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)-i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right]=\frac{1}{2}e^{-\frac{5}{4}\pi i}

 

 


 

Per il momento è tutto ragazzi! Cliccando sull'icona sottostante troverete una scheda di esercizi utili a mettere in pratica quanto abbiamo visto in questa lezione. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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