Dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa

In questa lezione vi mostreremo come ricavare la forma esponenziale di un numero complesso partendo dalla forma algebrica e viceversa, ossia come ottenere la rappresentazione algebrica conoscendone la rappresentazione esponenziale.

 

I due metodi che ora vedremo sono abbastanza meccanici e per farveli comprendere fino in fondo correderemo il tutto con svariati esempi.

 

Passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale

 

Dato un numero complesso in forma algebrica

 

z=a+ib, \mbox{ con } a, b \in \mathbb{R}

 

 

per passare alla forma esponenziale

 

z=re^{i\theta}

 

basta calcolare il valore di r \mbox{ e } \theta, ossia trovare modulo e argomento del numero complesso z=a+ib. Come abbiamo visto nella lezione del link il modulo di un numero complesso si ottiene, semplicemente, da

 

r=\sqrt{a^2+b^2}.

 

Il calcolo più delicato è quello del valore dell'argomento \theta che dipende dall'intervallo in cui si opera. Infatti:

 

 

\bullet \ \mbox{Se } \theta \in (-\pi,\pi]:

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b>0\\ -\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \mbox{non definito se }a=0,\ b=0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\mbox{ se }a>0,\ b\mbox{ qualsiasi}\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+\pi\mbox{ se }a<0,\ b\geq 0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}-\pi\mbox{ se }a<0,\ b< 0 \end{cases}

 

 

\bullet \ \mbox{Se } \theta \in (0,2\pi]:

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b>0\\ \frac{3\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \mbox{ non definito se }a=0,\ b=0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\mbox{ se }a>0,b\ge 0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+2\pi\mbox{ se }a>0,\ b<0\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi\mbox{ se }a<0, \mbox{ b qualsiasi}\end{cases}

 

 

Conoscendo la forma cartesiana del numero complesso abbiamo automaticamente il valore della parte reale a e della parte immaginaria b. Per risalire alla forma esponenziale dovremo solo applicare le formule precedenti facendo attenzione, lo ripetiamo ancora una volta, all'intervallo in cui si sta lavorando. Nel caso non fosse fornito esplicitamente dal testo dell'esercizio, sarà nostro compito sceglierlo.

 

Esempi di passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale di un numero complesso

 

1) Rappresentare in forma esponenziale, per -\pi < \theta \le \pi, il numero complesso z=\sqrt{3}-i.

 

 

Svolgimento: la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso sono rispettivamente Re(z)=\sqrt{3} \mbox{ e } Im(z)=-1.

 

Calcoliamone il modulo

 

r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2

 

L'argomento \theta (attenzione al segno di parte reale e parte immaginaria ed all'intervallo in cui stiamo facendo variare \theta) è invece dato da

 

\theta=\arctan{\frac{b}{a}}=\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}

 

Possiamo quindi concludere che la forma esponenziale di z=\sqrt{3}-i è:

 

z=2e^{-\frac{\pi}{6}i}

 

 

2) Scrivere la forma esponenziale del numero complesso z=1-i per 0<\theta\le 2\pi.

 

 

Svolgimento: per il numero complesso dato Re(z)=1 \mbox{ e } Im(z)=-1. Allora il suo modulo è

 

r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

 

Mentre, poiché \theta \in (0,2\pi], la parte reale è positiva e la parte immaginaria è negativa. Abbiamo così

 

\theta=\arctan{\frac{b}{a}}+2\pi=\arctan\left(\frac{-1}{1}\right)+2\pi =

 

=\arctan(-1)+2\pi=-\frac{\pi}{4}+2\pi = \frac{7}{4}\pi

 

Quindi z=\sqrt{2}e^{\frac{7}{4}\pi i} è la forma esponenziale che ci eravamo proposti di trovare.

 

Passaggio dalla forma esponenziale alla forma algebrica

 

Grazie alla rappresentazione esponenziale di un numero complesso

 

z=re^{i\theta}

 

ne conosciamo immediatamente il modulo r e l'argomento \theta.

 

Il problema del passaggio alla forma cartesiana z=a+ib si riduce quindi a dover calcolare parte reale a e parte immaginaria b di un numero complesso conoscendone modulo e argomento.

 

Dobbiamo cioè applicare le stesse formule che ci permettono di passare dalla forma trigonometrica alla forma cartesiana:

 

(\spadesuit) \ \begin{cases}a=r\cos(\theta) \\ b=r\sin(\theta) \end{cases}

 

Se per un motivo qualsiasi non le dovessimo ricordare, ci basterà ricorrere all'identità di Eulero

 

e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) \mbox{ per ogni } \theta \in \mathbb{R}

 

così da avere

 

z=re^{i\theta}=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

A questo punto è sufficiente calcolare seno e coseno dell'angolo \theta e moltiplicare per r. Avremo così la forma cartesiana cercata.

 

Esempi di passaggio dalla forma esponenziale alla forma algebrica

 

1) Qual è la forma cartesiana del numero complesso z=5e^{i\frac{\pi}{6}} ?

 

 

Svolgimento: innanzitutto determiniamo modulo e argomento di z:

 

r=5 \mbox{ e } \theta=\frac{\pi}{6}=30^{\circ}.

 

Serviamoci poi delle formule

 

(\spadesuit) \ \begin{cases}a=r\cos(\theta) \to a=5 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ b=r\sin(\theta) \to b=5\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \end{cases}

 

Ricordando il valore del coseno di 30 gradi abbiamo

 

a=5\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2}\sqrt{3}

 

Allo stesso modo, avendo presente il valore del seno di 30 gradi si ha

 

b=5\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=5 \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}

 

La forma cartesiana cercata è

 

z=a+ib=\frac{5}{2}\sqrt{3}+\frac{5}{2}i

 

 

2) Ricavare la forma algebrica del numero complesso z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2}i}.

 

 

Svolgimento: facciamo, questa volta, ricorso alla formula di Eulero

 

z=\sqrt{2}e^{-i\left(\frac{\pi}{2}\right)}=r\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\sqrt{2}[0-i]=-\sqrt{2}i

 

Pertanto z=-\sqrt{2}i è la forma cartesiana del numero complesso z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2}i}.

 

 

Piccola osservazione: se il valore dell'angolo \theta non dovesse comparire nella tabella dei valori fondamentali di seno e coseno, sarebbe preferibile lasciare il numero complesso espresso nella sua forma esponenziale o, tutt'al più, passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica. Se poi il passaggio alla forma cartesiana fosse espressamente richiesto dall'esercizio non potremmo fare altro che fornire un'approssimazione di parte reale e parte immaginaria calcolando il valore di seno e coseno dell'angolo \theta tramite la calcolatrice.

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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