Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa

Spiegheremo ora come affrontare due delle richieste più frequenti sui numeri complessi, ossia come passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa, ossia come si ottiene la forma algebrica di un numero complesso partendo dalla forma trigonometrica.

 

Come nostra abitudine, dopo avervi spiegato i due metodi per passare dall'una all'altra forma, vedremo svariati esempi e vi metteremo in guardia dagli errori più comuni.

 

Passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

 

Un numero complesso in forma algebrica si presenta come

 

z=a+ib, \mbox{ con } a, b \in \mathbb{R}

 

 

Per passare alla forma trigonometrica

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

basta calcolare r \mbox{ e } \theta, ossia il modulo e argomento del numero complesso z=a+ib. Come abbiamo visto nella lezione del link

 

r=\sqrt{a^2+b^2}

 

mentre il valore dell'argomento \theta varia a seconda dell'intervallo in cui si è scelto di lavorare. In particolare:

 

 

\bullet \ \mbox{Per } \theta \in (-\pi,\pi]:

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b>0\\ -\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \mbox{non definito se }a=0,\ b=0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\mbox{ se }a>0,\ b\mbox{ qualsiasi}\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+\pi\mbox{ se }a<0,\ b\geq 0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}-\pi\mbox{ se }a<0,\ b< 0 \end{cases}

 

 

\bullet \ \mbox{Per } \theta \in (0,2\pi]:

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b>0\\ \frac{3\pi}{2}\mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \mbox{ non definito se }a=0,\ b=0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\mbox{ se }a>0,b\ge 0\\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+2\pi\mbox{ se }a>0,\ b<0\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi\mbox{ se }a<0, \mbox{ b qualsiasi}\end{cases}

 

 

Badate bene che noi conosciamo la forma cartesiana del numero complesso, dunque i valori numerici di a \mbox{ e } b sono noti. Di conseguenza è sufficiente scegliere l'intervallo in cui far variare l'argomento (a meno che non sia già fornito dalla traccia dell'esercizio) ed applicare le formule appena scritte.

 

Esempi di passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica di un numero complesso

 

1) Scrivere in forma trigonometrica, per -\pi < \theta \le \pi, il numero complesso z=-1+\sqrt{3}i.

 

 

Svolgimento: il numero complesso dato ha parte reale Re(z)=-1 e parte immaginaria Im(z)=\sqrt{3}. Il suo modulo quindi è dato da

 

r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2

 

Il valore del suo argomento (attenzione al segno di parte reale e parte immaginaria ed all'intervallo in cui varia deve variare \theta) è

 

\theta=\arctan{\frac{b}{a}}+\pi=\arctan{\frac{\sqrt{3}}{-1}}+\pi = \arctan{-\sqrt{3}}+\pi = -\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{2}{3}\pi

 

Abbiamo tutto quello che ci occorre per scrivere la forma trigonometrica del numero complesso z=-1+\sqrt{3}i:

 

z=2\left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi \right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)\right]

 

 

2) Per 0<\theta\le 2\pi scrivere la forma trigonometrica del numero complesso z=-6i.

 

 

Svolgimento: dalla forma algebrica possiamo ricavare immediatamente il valore della parte reale Re(z)=0 e della parte immaginaria Im(z)=-6. Abbiamo

 

r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36}=6

 

che rappresenta il modulo di z; Il suo argomento è invece \theta=\frac{3}{2}\pi. Stiamo infatti supponendo che \theta \in (0,2\pi] e siamo nel caso in cui la parte reale è nulla e la parte immaginaria è negativa.

 

Possiamo allora concludere che

 

z=6\left[\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right]

 

è la rappresentazione trigonometrica del numero dato.

 

 

Come avrete notato se si ha ben chiaro come calcolare modulo ed argomento di un numero complesso il passaggio dalla forma algebrica alla trigonometrica è estremamente semplice.

 

Passaggio dalla forma trigonometrica alla forma algebrica

 

Ora analizziamo il caso in cui è nota la rappresentazione in forma trigonometrica

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

e, partendo da essa, si vuole risalire alla forma cartesiana z=a+ib.

 

Le formule che consentono di effettuare tale passaggio sono le seguenti:

 

(\spadesuit) \ \begin{cases}a=r\cos(\theta) \\ b=r\sin(\theta) \end{cases}

 

Tali formule si ricavano dalla rappresentazione grafica di un numero complesso nel piano di Argand Gauss

 

 

Passare dalla forma trigonometrica alla cartesiana

 

 

Osservate infatti che a \mbox{ e } b sono i cateti di un triangolo rettangolo. Basta quindi far ricorso ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli per ottenere (\spadesuit).

 

Esempi di passaggio dalla forma trigonometrica alla forma algebrica

 

1) Dato il numero complesso z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] scrivere la sua forma algebrica.

 

 

Svolgimento: dalla rappresentazione trigonometrica abbiamo che r=2 \mbox{ e } \theta=\frac{\pi}{4}=45^{\circ}.

 

Grazie alle formule (\spadesuit) possiamo ricavare immediatamente il valore della parte reale e della parte immaginaria del numero complesso z. Ricordando il valore del coseno di 45 gradi abbiamo

 

a=r\cos(\theta)=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

 

Allo stesso modo, avendo presente il valore del seno di 45 gradi si ha

 

b=r\cos(\theta)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

 

Possiamo allora concludere che la forma cartesiana di z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] è

 

z=a+ib=\sqrt{2}+i\sqrt{2}

 

Facciamoci furbi! Se per qualche motivo non doveste ricordare le formule (\spadesuit) vi basterà calcolare seno e coseno dell'angolo \theta, sostituire i loro valori nella forma trigonometrica data e svolgere il prodotto con il modulo. Otterrete, allo stesso modo, la forma algebrica del numero complesso, come mostrato nell'esempio seguente.

 

 

2) Scrivere la forma algebrica del numero complesso z=4\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right].

 

 

Svolgimento: ricordando il valore del coseno e del seno di 60 gradi si ha

 

z=4\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]=4\left[\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right]=2+2\sqrt{3}i

 

che è proprio la forma algebrica cercata. Facile, vero? ;)

 

 


 

 

Ultimissima cosa prima dei saluti di rito: se il valore dell'angolo \theta non dovesse comparire nella tabella dei valori fondamentali di seno e coseno è preferibile lasciare il numero complesso espresso nella sua forma trigonometrica. Se poi il passaggio alla forma cartesiana è espressamente richiesto dall'esercizio non possiamo far altro se non fornire un'approssimazione di parte reale e parte immaginaria calcolando il valore di seno e coseno dell'angolo tramite la calcolatrice.

 

 


 

Adesso è davvero tutto! Per prendere maggiore confidenza nel passaggio dall'una alla forma vi proponiamo una scheda di esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana alla forma trigonometrica e viceversa. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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