Forma esponenziale di un numero complesso

In questa lezione, come avrete intuito, vedremo come si presenta un numero complesso in forma esponenziale o forma euleriana. Daremo innanzitutto la definizione per poi mostrarvi come ricavare quest'ulteriore forma di rappresentazione dei numeri complessi.

 

Infine, nell'ultima parte della lezione, vi diremo come affrontare le richieste degli esercizi quando avete a che fare con numeri complessi espressi in forma esponenziale.

 

Definizione ed esempi di forma esponenziale di un numero complesso

 

Un numero complesso z\in \mathbb{C} è in forma esponenziale se si presenta come

 

z=re^{i\theta}

 

dove i indica l'unità immaginaria. Nel prossimo paragrafo capiremo cosa rappresentano r \mbox{ e } \theta; prima però vediamo alcuni esempi di numeri complessi in forma esponenziale:

 

2e^{\frac{\pi}{4}i}, \ \ 3e^{\frac{5}{6}\pi i}, \ \ \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{3}i}

 

Come si ottiene la forma esponenziale di un numero complesso

 

Nella lezione precedente sulla forma trigonometrica di un numero complesso abbiamo visto come, partendo dalla definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali, sia possibile esprimere ogni z\in \mathbb{C} nella forma

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin{\theta}]

 

dove r è un numero reale positivo e \theta un angolo (solitamente espresso in radianti) che varia nell'intervallo (-\pi,\pi] oppure nell'intervallo (0,2\pi].

 

r \mbox{ e } \theta rappresentano, rispettivamente, modulo ed argomento del numero complesso.

 

Ricordiamo ora che, per ogni \theta \in \mathbb{R}, vale l'identità di Eulero:

 

e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin{\theta}

 

e ciò e sufficiente per ottenere la forma esponenziale di un numero complesso, infatti:

 

z=(a,b)=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]=\mbox{ per id. Eulero }=re^{i\theta}

 

 

Nota per i lettori: nel paragrafo che segue vedremo come approcciare le principali richieste negli esercizi sui numeri complessi quando essi si presentano in forma esponenziale; la lettura è quindi consigliata a chi ha già una certa dimestichezza con gli esercizi.

 

Utilizzo dei numeri complessi in forma esponenziale

 

In alcuni casi la forma esponenziale di un numero complesso è quella che ci fa risparmiare tempo e fatica ma non sempre è così. A volte è infatti più conveniente passare dalla forma esponenziale alla forma algebrica o dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica. A seconda dei casi saremo noi a dover scegliere quale sia la strada più comoda da seguire e solo l'esperienza potrà aiutarci.

 

 

1) Il complesso coniugato di un numero complesso in forma esponenziale z=re^{i\theta} è dato da

 

\overline{z}=re^{-i\theta}

 

 

2) Modulo ed argomento di un numero complesso espresso in forma esponenziale si ottengono semplicemente guardandolo: r è infatti il modulo e \theta l'argomento.

 

 

3) Per svolgere le operazioni tra numeri complessi in forma esponenziale conviene procedere nel modo seguente:

 

- consigliamo di passare alla forma cartesiana per calcolare la somma tra due numeri complessi o la differenza tra due numeri complessi.

 

- Per calcolare il prodotto tra due numeri complessi o il rapporto tra due numeri complessi in forma esponenziale (a patto che il divisore sia non nullo) basta far ricorso alle proprietà delle potenze. Avremo infatti:

 

z_1 z_2 = r_1e^{i \theta_1} r_2 e^{i \theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}

 

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1-\theta_2)}

 

 

4) Per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso è più conveniente passare alla forma trigonometrica e procedere come nella lezione del link.

 

 

5) Trovare la potenza di un numero complesso in forma esponenziale è a dir poco immediato. Basta infatti ricordare come sono definite le potenze di potenze per avere

 

\left[r e^{i\theta}\right]^n=r^n e^{i n\theta} 

 

 


 

È tutto! In caso di dubbi, problemi o perplessità potete trovare le risposte che vi servono utilizzando la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina).

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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